Ecuaciones de cauchy – euler – bernoulli

OBJETIVOS

General:

➢ Conocer acerca de las distintas ecuaciones que realizaron los matemáticos Cauchy, Euler y Bernoulli, y sus aplicaciones a nivel matemático y científico

Específicos:

➢ Conocer las diferentes aplicaciones de las ecuaciones de Cauchy, Euler y Bernully

➢ Conocer de que forma se desarrollaron las distintas ecuaciones

➢ Conocer acerca de losaportes que ha traído el desarrollo de estas ecuaciones.

➢ Tener el conocimiento para poder aplicar y desarrollar estas ecuaciones

ECUACIONES DE CAUCHY

Ecuación funcional de Cauchy

La ecuación funcional de Cauchy es una ecuación funcional considerada entre las más simples de representar; sin embargo, su solución sobre los números reales es extremadamente complicada. La ecuación es[pic]
Sobre los números racionales, puede demostrarse usando álgebra elemental que hay una única familia de soluciones [pic]para cualquier constante c arbitraria.
Esta familia de soluciones aplica también sobre los reales, pero algunas restricciones adicionales sobre la función f, como las siguientes, pueden resultar en otras soluciones:
➢ si f es una función continua (probada por Cauchyen 1821). Esta condición fue debilitada en 1875 por Jean Gaston Darboux quien demostró que sólo es necesario que la función sea continua en un punto.
➢ si f es una función monótona sobre cualquier intervalo.
➢ si f es una función acotada en cualquier intervalo.
Por otro lado, si no hay condiciones adicionales sobre f, luego (asumiendo el axioma de elección) hay otras infinitas funcionesposibles que satisfacen la ecuación. Esto fue demostrado en 1905 por Georg Hamel utilizando las bases de Hamel. El quinto problema de Hilbert es una generalización de esta ecuación.

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son dos ecuaciones diferenciales parciales que son básicas en el análisis de funciones complejas de variable compleja, debido a que su verificaciónconstituye una condición necesaria (aunque no suficiente) para la derivabilidad de este tipo de funciones.
Sea una función compleja f(z), con z = x + iy. Se sabe que f(z) se puede descomponer en suma de dos funciones reales de dos variables u y v, de manera que f(z) = f(x,y) = f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y). Si la función f(z) es derivable en un punto z0 = x0 + iy0 entonces deben verificarse lascondiciones de Cauchy-Riemann:
ux(x0,y0) = vy(x0,y0)
vx(x0,y0) = − uy(x0,y0)

Donde ux significa la derivada parcial de la función u respecto a la variable x, usualmente simbolizado [pic]. Análogamente para uy, vx y vy.
Además se cumple que el valor de la derivada en el punto, de existir, debe ser:
f'(z0) = ux(x0,y0) + ivx(x0,y0) = vy(x0,y0) − iuy(x0,y0)

Ejemplo

Veamos un ejemplo dondederivable en todo número complejo y por lo tanto las ecuaciones de Cauchy-Riemann se verificarán en cualquier z = x + iy. Consideramos la función f(z) = z2. Ahora veamos esta función en coordenadas cartesianas.
f(x + yi) = (x + yi)2 = (x2 − y2) + i2xy
Por lo tanto las parte real e imaginaria de la función son u(x,y) = x2 − y2 y v(x,y) = 2xy respectivamente. Derivado con respecto a x e y esinmediato que
ux = 2x = vy
Y que
uy = − 2y = − vx.
Por último verifiquemos la condición sobre las derivadas. La derivada de f es claramente f'(z) = 2z (las reglas para derivar funciones complejas es similar a las funciones reales) por lo tanto
f'(x + iy) = 2(x + iy) = 2x + i2y = ux + ivx = vy − iuy

Ecuación de Cauchy-Euler

La misma facilidad relativa con la que fue posible encontrar solucionesexplicitas de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes constantes o en general no se consigue con las ecuaciones lineales con coeficientes variables. Cuando una ecuaciones diferenciales tiene coeficientes variables, lo mejor es que se puede esperar normalmente es encontrar una solución en la forma de una serie infinita pero en este caso no se hará esto ya que la...