Ecuacion Cuadratica

Eje temático: Álgebra y funciones
Contenidos: Función cuadrática - Ecuaciones de segundo grado – Traslaciones
de función cuadrática y función raíz
Nivel: 3° Medio

Ecuación Función cuadrática
1. Ecuación cuadrática
Una ecuación cuadrática es una aquella en que el exponente mayor de la
incógnita es 2. Es decir, es una ecuación de segundo grado, y al resolverla
obtendrás dos soluciones posibles: x1y x2 .
La ecuación general de la ecuación de 2º grado o cuadrática es de la forma:
Ax2+ B x + C =0 (con A ≠ 0)
Para resolver una ecuación cuadrática existen diferentes métodos,
dependiendo de los coeficientes numéricos A, B, C.
1.2 Resolución de ecuaciones cuadráticas
1. Por factorización
Podremos resolver una ecuación del tipo: x2 - 12x - 28 = 0, por este
método solo si el trinomio puede serfactorizado. En este caso, buscando dos
números que multiplicados den –28 y sumados den –12; (se buscan todos los
pares de factores cuyo producto sea 28). En este ejercicio, los números son 14 y 2, porque la suma de ellos es igual a -12. Por lo tanto, la factorización es
(x - 14)(x + 2) = 0. Como el producto es igual a 0, entonces (x – 14) = 0 o
bien (x + 2) = 0.
A partir de esto se deduce que lassoluciones son x = 14 y x = -2.
Recíprocamente, podemos generalizar que si x1 y x2 son las soluciones de una
ecuación de segundo grado, entonces la ecuación (x – x1)· (x – x2) = 0 es un
producto de binomios con 1 término común y corresponde a x2 – x1· x – x2· x
+ x1· x2 = 0, que si se factoriza en x2 resulta: x2 - (x1 + x2)· x + x1 x2 = 0.
Es por esto que si el valor de A = 1, entonces B es el valorde la suma de las
soluciones y C es el valor del producto de las soluciones.
Este método se puede aplicar en cualquiera de los trinomios factorizables,
incluyendo binomios de la forma: X2 – B2. Por ejemplo: x2 – 81 = 0, el que se
factoriza en producto de suma por diferencia: (x + 9)· (x – 9) = 0,
determinando las soluciones x1 = -9 y x2 = 9.

2. Utilizando la fórmula
Todas las ecuacionescuadráticas: ax2 + b x + c = 0
pueden resolver utilizando la fórmula:

(con a ≠ 0)

Se

Ejemplo:
Resolver la ecuación x2 – 10x + 24 = 0
En esta ecuación: a = 1; b = -10 y c = 24. Reemplazando en la fórmula,
obtenemos:

x2 = 4

determinando así las soluciones

x1 = 6 o

3. Por completación de cuadrados
Ejemplo:
Resolver la ecuación: x2 – 6x + 8 = 0
Con los términos x2 y - 6x podemos formar el cuadrado debinomio (x – 3)2
Pero nos faltaría el número 9, por lo tanto sumaremos 9 a ambos lados de la
ecuación para formar el cuadrado de binomio:
/+9
x2 – 6x + 8 = 0
2
/ factorizamos el trinomio cuadrado perfecto
x – 6x + 9 + 8 = 9
(x – 3)2 + 8 = 9
(x – 3)2 = 1
Por lo tanto, (x – 3) = 1 o (x – 3) = -1, de lo que se deduce que x1 = 4 o x2
=2
4. Despejando la incógnita
En algunos casos en que sólo aparece laincógnita x, se puede despejar y
calcular así las soluciones.
Ejemplo:
/ restamos 15
(x + 8)2 + 15 = 136
/ aplicamos raíz en ambos miembros de la igualdad
(x + 8)2 = 136 – 15
x+8=±
y x2 = -19

, entonces x1 = 11 – 8 o bien x2 = -11 – 8, por tanto : x1 = 3

1.3 Planteo de problemas con ecuaciones cuadráticas
Un número entero cumple con que el cuadrado del antecesor de su doble
equivale a sucuadrado aumentado en 5. ¿Cómo plantearías la ecuación?
Sea x el número entero, entonces el enunciado se traduce en:
(2x – 1)2 = x2 + 5

donde el binomio (2x – 1)2 corresponde al cuadrado del antecesor del doble de
un número entero, y el binomio X2 + 5 corresponde al cuadrado del número
entero aumentado en 5 unidades.
Ordenando y reduciendo, se obtiene la ecuación cuadrática:
3x2 – 4x – 4 = 0Utilizando la fórmula, con a = 3, b = -4 y c = -4

Por lo tanto x1 = 2 o x2 = -2/3
Como el número que se pide es un número entero, la solución correcta solo es
x = 2.
Ejemplo:
Un triángulo tiene un área de 24 cm2 y la altura mide 2 cm más que la base
correspondiente. ¿Cuánto mide la altura? (Te sugiero dibujes la situación)
Sea x la base, entonces su altura es x + 2, y su área:

La ecuación que resuelve...