Ecuacion Difencial

Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales.

Una ecuaci´n diferencial lineal de orden n es una ecuaci´n que se puede escribir de la o o siguiente forma: an (x)y (n) (x) + an−1 (x)y (n−1) (x) + · · · + a0 (x)y(x) = g(x) donde an (x), an−1 (x), . . . , a0 (x) y g(x) son funciones que s´lo dependen de la variable indepeno diente x . Si en la ecuaci´n anterior la funci´n g(x) = 0 decimos que laecuaci´n es homog´nea. En o o o e caso contario se dice que la ecuaci´n es completa. o Ejemplo 1 La ecuaci´n dy + (3x2 y − x2 )dx = 0 es lineal de primer orden, ya que puede o expresarse de la forma y + 3x2 y = x2 . Las ecuaciones diferenciales lineales poseen una propiedad b´sica que facilita enormemente a la construcci´n de t´cnicas para su resoluci´n, como nos muestra el siguiente teorema. o e oTeorema 1 Soluci´n General de la ecuaci´n lineal completa o o Si yP (x) es una soluci´n particular de la ecuaci´n lineal completa o o an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a0 (x)y = g(x) e yH (x) es la soluci´n general de ecuaci´n homog´nea asociada o o e an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a0 (x)y = 0 entonces y(x) = yH (x) + yP (x) es la soluci´n general de la ecuaci´n completa. o o Elteorema anterior nos dice que podemos dividir el proceso de resoluci´n de una ecuaci´n o o lineal completa en dos tareas: determinar la soluci´n general de la ecuaci´n homog´nea asociada o o e y encontrar una soluci´n particular de la ecuaci´n completa. o o

1.

Ecuaciones lineales de primer orden.
Son de la forma a(x)y + b(x)y = g(x)

. Soluci´n general de la homog´nea: o e Las ecuacioneslineales homog´neas de primer orden a(x)y + b(x)y = 0 son siempre ecuae ciones de variables separables, cuya resoluci´n ya ha sido estudiada en el tema anterior. o 1

Soluci´n particular de la completa: o Para hallar una soluci´n particular de la completa se puede seguir el m´todo de variaci´n o e o de la constante que consiste en buscar la soluci´n particular de la completa de la misma forma o quela soluci´n general de la homog´nea, pero reemplazando la constante por una funci´n. En o e o concreto: M´todo de variaci´n de la constante: e o (1o ) Supongamos que yH = yH (x; c) es la soluci´n general de la ecuaci´n homog´nea asociao o e da a(x)y + b(x)y = 0. Entonces, reemplazamos la constante c por una funci´n c(x) y o buscamos una soluci´n particular de la ecuaci´n completa de esa forma: o oSi yH = yH (x; c) =⇒ Buscamos yP = yH (x; c(x)) o (2o ) Determinamos c (x) sustituyendo yP = yH (x; c(x)) y su derivada en la ecuaci´n completa. (3o ) Integramos para obtener c(x) y la sustituimos en yP . 1 dy 2y Ejemplo 2 Resolver la ecuacion diferencial · − = x cos(x). x dx x2 1 dy 2y Soluci´n general de la homog´nea: · o e − = 0. x dx x2 1 dy 2y dy 1 1 · = 2; = dx; ln(y) = ln(x) + ln(k); ln(y1/2 ) = ln(kx) x dx x 2y x 2 y 1/2 = kx; yH (x) = k 2 x2 = [llamamos c = k 2 ] = cx2 . Soluci´n particular de la completa: o Buscamos una soluci´n de la forma y = c(x)x2 as´ que imponemos que verifique la ecuaci´n o ı o completa: 1 2c(x)x2 2 (c (x)x + 2xc(x)) − = x cos(x) x x2 c (x)x + 2c(x) − 2c(x) = x cos(x); Por lo tanto: yP (x) = x2 sen(x) Soluci´n general de la completa: o y(x) = yH (x) + yP(x) = cx2 + x2 sen(x) . Ejemplo 3 Hallar la soluci´n particular de la ecuaci´n diferencial o o dy 3y + + 2 = 3x que pasa dx x c (x) = cos(x); c(x) = sen(x)

por el punto (1, 1). Soluci´n general de la homog´nea: o e dy 3y dy −3y dy −3 + = 0; = ; = dx; ln y = −3 ln x + ln k; dx x dx x y x ln y = ln(x−3 ) + ln k; yH (x) = cx−3 . Soluci´n particular de la completa: o Buscamos una soluci´n de laforma y = c(x)x−3 as´ que imponemos que verifique la ecuaci´n o ı o completa: 3 c (x)x−3 − 3c(x)x−4 + c(x)x−3 + 2 = 3x; x c (x) 3c(x) 3c(x) − + + 2 = 3x; x3 x4 x4

3x5 x4 c (x) = 3x − 2x ; c(x) = − . 5 2 5 4 2 x 1 3x x 3x Por lo tanto yP (x) = − · 3 = − . 5 2 x 5 2 Soluci´n general de la completa: o c (x) = 3x − 2; x3
4 3

c 3x2 x − + x3 5 2 Soluci´n particular de la completa que pasa por el...