Ecuaciones de la recta

Ecuaciones de la recta
Matemáticas Preuniversitarias Dra. Lourdes Palacios & M.I.B. Norma Castañeda

Antes de iniciar con el desarrollo de las ecuaciones de la recta es importante considerar una de sus características particulares, la pendiente. A partir de esta cualidad partiremos para obtener cada ecuación. La pendiente de la recta que pasa por P1(x1,y1) y P2(x2,y2) es:

Ecuación de larecta que pasa por el origen
Considere la recta que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x. Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.

Ecuación de la recta que pasa por el origen.
Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tieneque:

Esto es, Es decir, y = mx

Ecuación de la recta en su forma punto pendiente
Lo que se muestra en la figura, es una recta que pasa por el punto A(x1, y1), con una pendiente dada.

• Si un punto P(x, y) está en una recta y m es la pendiente de la misma, la pendiente puede definirse como: m = y − y
1

x − x1

• Despejando las ordenadas y acomodando miembros tenemos:
( y − y ) =m( x − x )
1 1

• Esta es la ecuación de la recta en su forma punto pendiente. Las coordenadas (x1, y1) son las de un punto cualquiera que pertenezca a dicha recta. • Ejemplo 1: Sea m=1/5 y A(-2, -4), la pendiente y un punto respectivamente de una recta. Verifique que su ecuación en su forma punto pendiente es: 5y-x+18=0

Ecuación De La Recta Que Pasa Por Dos Puntos.
• Considera dos puntospor los cuales pasa una recta como se muestra en la figura:

• A partir de la pendiente m y de la ecuación de la recta en forma de punto pendiente. Considera las coordenadas del punto A como las del punto pendiente. y − y  (y − y ) =  (x − x )
2 1 1

 x2 − x1 

1

• O bien, la pareja de coordenadas del punto B
(y − y ) =  y
2

− y1   ( x − x2 )  x2 − x1  
2

• Ambas sonla ecuación de la recta que pasa por dos puntos, como se puede observar es indistinto el punto que se sustituya, el resultado será el mismo y representará la misma recta. • Ejemplo 2: Sean A(-1, 3) y B(3, -4), dos puntos que pertenecen a una misma recta. Verifica que la ecuación de ésta es la que se muestra a continuación, y que es indistinto el punto que se toma como punto pendiente. Sol.4y+7x-5=0

Ecuación de la recta con pendiente dada y ordenada al origen.
• Ecuación de la recta en forma simplificada. Considera un recta que pasa por los puntos A(x, y) y B(0,b), como se muestra en la figura

• Calculando la pendiente
m= b− y 0−x

• Despejando y, y ordenando los términos
y = mx + b

• La coordenada b se define como la ordenada al origen, y es el punto donde la recta cortael eje y

• Ejercicio en equipo: Las ecuaciones de oferta y demanda de un producto son p y q respectivamente.
1 p= q+2 7 q = 2p + 2

• Traza la gráfica respectiva de cada una y encuentra el punto de equilibrio del producto. • Nota: Se define como punto de equilibrio el punto en el cual los ingresos totales son iguales a los costos totales, es decir, no hay pérdidas pero tampoco hayganancias. • Sol. Punto de equilibrio:
 42 16   ,   5 5

Ecuación de la recta en forma simétrica.
• La siguiente figura ilustra una recta que pasa por los puntos A(a,0) y B(0,b).

• Al calcular la pendiente obtendríamos:
b−0 −b m= ⇒m= 0−a a

• Al sustituir m en la ecuación de la recta en su forma ordenada al origen y=mx+b, tenemos
y= −b x+b a

• Ordenando los miembros de la ecuación
xy + =1 a b

• Esta es la ecuación simétrica de la recta.

Ecuación general de la recta.
• La ecuación general de la recta es de la siguiente forma: Ax+By+C=0 • A partir de la ecuación anterior podemos analizar cuatro casos diferentes • Caso 1. Recta paralela al eje x: Si A=0, B≠0, C ≠ 0; la ecuación se reducirá a By+C=0, de la cual se obtiene que y=-C/B, que representa una recta paralela...