ECUACIONES DIFERENCIALES (APLICACIONES)
Páginas: 14 (3421 palabras)
Publicado: 4 de noviembre de 2013
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y ESTADISTICA
ECUACIONES DIFERENCIALES:
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
IV. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
SOLUCIONADAS POR VARIABLES SEPARABLES.
Las ecuaciones diferenciales son una de las herramientas más poderosas para
modelizar la naturaleza. Los sistemasdinámicos, en un sentido amplio, estudian
cualquier fenómeno que evolucione con el tiempo, las ecuaciones diferenciales,
y por extensión los sistemas dinámicos, interaccionan fuertemente con la mayoría
de las ramas de las matemáticas.
Las ecuaciones diferenciales se aplican en multitud de
campos: la difusión del calor, de las sustancias
químicas
o
de
las
poblaciones
biológicas;
ladeformación de los sólidos elásticos; el movimiento de
líquidos, gases o plasmas -para modelizar desde
corrientes oceánicas hasta el clima, o la sustentación
que proporciona el ala de un avión-; la extracción de
petróleo o la filtración de fluidos y contaminantes en el suelo; la propagación de las
ondas, como las acústicas, los campos electromagnéticos o incluso las ondas
sísmicas; elestudio del espacio-tiempo (ecuaciones de Einstein, agujeros negros);
la evolución de los activos financieros; en el
tratamiento de señales e imágenes; el movimiento
de
los
cuerpos
misiones espaciales.
Trato
ahora de mostrar
unas
aplicaciones
que
pueden ser muy útiles en
nuestro quehacer diario.
celestes
y
el
diseño
de
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALIFACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y ESTADISTICA
ECUACIONES DIFERENCIALES:
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
4.1. Trayectorias ortogonales
En ingeniería se presenta a menudo el
problema geométrico de encontrar una
familia
de
ortogonales)
curvas
(trayectorias
que
intersequen
ortogonalmente en cada punto a una
familia dada decurvas. Por ejemplo, es
posible que se den las líneas de fuerza y se pida obtener la ecuación de las
líneas equipotenciales.
Para encontrar las trayectorias ortogonales de una familia de curvas se
escribe primero la ecuación diferencial que describe a la familia; la ecuación
diferencial de la familia ortogonal se calcula a partir de la condición de
ortogonalidad.
Sea la ecuación diferencialque describe una familia de curvas.
La ecuación diferencial de la familia ortogonal se calcula
Ejemplo 1:
Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas
.
Solución: La familia de curvas corresponde a hipérbolas, donde
es una
constante arbitraria, habrá tantas curvas como valores de
se asignen. La
ecuación diferencial de esta familia de curvas se obtienederivando:
. Pero
, entonces
.
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y ESTADISTICA
ECUACIONES DIFERENCIALES:
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
Es decir, de
, se tiene que
, por lo que la ecuación
diferencial de la familia ortogonal se determina:
Esta ecuación diferencial se resuelve por el método devariables
separables:
Que también se puede simplificar donde la constante
En la figura se grafican la familia de la función
es arbitraria.
, y la familia de función
, ortogonales entre sí en sus puntos de intersección.
Familia de curvas ortogonanales de la función
, y de la función
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE CIENCIASNATURALES, EXACTAS Y ESTADISTICA
ECUACIONES DIFERENCIALES:
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
Ejemplo 2:
Dadas las curvas
las funciones
y
y
. Demuestre que
cumplen la condición de ortogonalidad en el punto
.
Solución: Sus derivadas son
y
La condición de ortogonalidad establece que
. Con lo que:
Realizando la operación obtenemos la igualdad. Por lo tanto las funciones
y...
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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y ESTADISTICA
ECUACIONES DIFERENCIALES:
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
IV. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
SOLUCIONADAS POR VARIABLES SEPARABLES.
Las ecuaciones diferenciales son una de las herramientas más poderosas para
modelizar la naturaleza. Los sistemasdinámicos, en un sentido amplio, estudian
cualquier fenómeno que evolucione con el tiempo, las ecuaciones diferenciales,
y por extensión los sistemas dinámicos, interaccionan fuertemente con la mayoría
de las ramas de las matemáticas.
Las ecuaciones diferenciales se aplican en multitud de
campos: la difusión del calor, de las sustancias
químicas
o
de
las
poblaciones
biológicas;
ladeformación de los sólidos elásticos; el movimiento de
líquidos, gases o plasmas -para modelizar desde
corrientes oceánicas hasta el clima, o la sustentación
que proporciona el ala de un avión-; la extracción de
petróleo o la filtración de fluidos y contaminantes en el suelo; la propagación de las
ondas, como las acústicas, los campos electromagnéticos o incluso las ondas
sísmicas; elestudio del espacio-tiempo (ecuaciones de Einstein, agujeros negros);
la evolución de los activos financieros; en el
tratamiento de señales e imágenes; el movimiento
de
los
cuerpos
misiones espaciales.
Trato
ahora de mostrar
unas
aplicaciones
que
pueden ser muy útiles en
nuestro quehacer diario.
celestes
y
el
diseño
de
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALIFACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y ESTADISTICA
ECUACIONES DIFERENCIALES:
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
4.1. Trayectorias ortogonales
En ingeniería se presenta a menudo el
problema geométrico de encontrar una
familia
de
ortogonales)
curvas
(trayectorias
que
intersequen
ortogonalmente en cada punto a una
familia dada decurvas. Por ejemplo, es
posible que se den las líneas de fuerza y se pida obtener la ecuación de las
líneas equipotenciales.
Para encontrar las trayectorias ortogonales de una familia de curvas se
escribe primero la ecuación diferencial que describe a la familia; la ecuación
diferencial de la familia ortogonal se calcula a partir de la condición de
ortogonalidad.
Sea la ecuación diferencialque describe una familia de curvas.
La ecuación diferencial de la familia ortogonal se calcula
Ejemplo 1:
Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas
.
Solución: La familia de curvas corresponde a hipérbolas, donde
es una
constante arbitraria, habrá tantas curvas como valores de
se asignen. La
ecuación diferencial de esta familia de curvas se obtienederivando:
. Pero
, entonces
.
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y ESTADISTICA
ECUACIONES DIFERENCIALES:
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
Es decir, de
, se tiene que
, por lo que la ecuación
diferencial de la familia ortogonal se determina:
Esta ecuación diferencial se resuelve por el método devariables
separables:
Que también se puede simplificar donde la constante
En la figura se grafican la familia de la función
es arbitraria.
, y la familia de función
, ortogonales entre sí en sus puntos de intersección.
Familia de curvas ortogonanales de la función
, y de la función
UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE CIENCIASNATURALES, EXACTAS Y ESTADISTICA
ECUACIONES DIFERENCIALES:
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.
Ejemplo 2:
Dadas las curvas
las funciones
y
y
. Demuestre que
cumplen la condición de ortogonalidad en el punto
.
Solución: Sus derivadas son
y
La condición de ortogonalidad establece que
. Con lo que:
Realizando la operación obtenemos la igualdad. Por lo tanto las funciones
y...
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