ecuaciones diferenciales de 2 orden

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN COMPLETAS

En estas ecuaciones también llamadas no homogéneas el segundo miembro es distinto de cero.}
y’’(x) + P(x) y’(x) + Q(x)y = R(x)
Si consideramos la ecuación con coeficientes constantes, se transforma en:
y’’(x) + p y’(x) + q y = R(x) la funciónR(x) debe ser continua en un intervalo I
La solución general de una ecuación no homogénea estará formada por la suma de dos soluciones, una general correspondiente a la ecuación homogénea asociada, que llamaremos solución complementaria yc y otra particular correspondiente a la no homogénea que la designamos yp
Demostración:
La solución general es y = yc + ypDonde yc e yp deberán ser linealmente independientes.
Si es solución la reemplazamos en la ecuación diferencial
(yc + yp )’’ + p (yc + yp )’ + q (yc + yp ) = R(x)
yc’’+ yp’’ + p yc’ + p yp’ + q yc + q yp = R(x)
Agrupamos los términos que contienen yc e yp
(yc’’+ p yc’ + q yc ) + ( yp’’ + p yp’ + q yp ) = R(x)
El primer paréntesis del primer miembro es nulo porque yc dijimos es solución de laecuación homogénea yc’’+ p yc’ + q yc = 0, la ecuación anterior nos queda:
yp’’ + p yp’ + q yp = R(x) quiere decir que yp verifica la ecuación no homogénea dado que al sustituirla nos da la función R(x).
El problema de hallar la solución general se reduce a encontrar esta solución particular yp para ello veremos dos métodos, cuya elección dependerá de la naturaleza de R(x).

I- Método decoeficientes indeterminados:
Básicamente este método consiste en proponer mediante inspección del segundo miembro una función con un coeficiente indeterminado. Cuando reemplacemos la solución propuesta en la ecuación diferencial, el valor de este coeficiente quedará establecido.
Este método es muy sencillo, pero tiene la limitación que sólo esaplicable cuando R(x) es del tipo:
a) Polinómica
b) Exponencial.
c) Seno o coseno
d) Combinación de las anteriores.
Analizaremos cada caso a partir de un ejemplo
a) R(x) es una función polinómica:
Ejemplo 1:
y’’ + y’ – 6y = 3x – 2 R(x)= 3x –2
Debemos hallar dos funciones linealmente independientes, para formar la solución general. Comenzamos por buscar la soluciónde la ecuación homogénea asociada para luego proponer yp.
Cálculo de yc:
y’’ + y’ – 6y = 0 su ecuación característica es m 2 + m –6 = 0
las raíces de esta ecuación son m1= 2 y m2 = -3 raíces reales distintas
La solución general de la homogénea es: yc = c1 e 2x + c2 e –3x
Cálculo de yp:
Para proponer esta solución tenemos en cuenta yc y R(x).
Como elsegundo miembro es un polinomio proponemos como solución un polinomio del mismo grado completo con coeficientes indeterminados. Proponemos yp = a x + b, esta solución debe ser linealmente independiente de la solución correspondiente a la ecuación homogénea asociada es decir no puede contener ningún término de yc.
Si yp = a x + b es solución debe verificar la ecuación diferencial.
(a x + b)’’ +(a x + b)’ – 6 (a x + b) = 3x – 2
(a x + b)’ = a
(a x + b)’’= 0 reemplazamos: a – 6ax – 6b = 3x – 2
ordenamos: - 6ax + ( a – 6b) = 3x - 2
comparamos: -6ax = 3x  -6 a = 3 de donde a = - ½
a – 6b = - 2
-1/2 – 6b =-2  b = ¼
Vemos que quedaron determinados los coeficientes a y b, la solución particular de la ecuación no homogénea es yp = -1/2 x + 1/4
La solución general de la ecuación diferencial es:
y = c1 e 2x + c2 e –3x -1/2 x + 1/4

Ejemplo 2:
y’’+ 3y’ = 8x + 5
Cálculo de yc:
y’’ + 3...