Ecuaciones Diferenciales De Variables Separable

Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables (Ecuaciones Diferenciales Separables)
Una EDO de primer orden es de variables separables, si mediante operaciones algebraicas puede escribirse de la siguiente forma.
Algoritmo de solución:
1) Identificar la EDO como separable.
2) g(y)y'=f(x) Operamos de ambos lados



3)
Ejemplo # 1
* Resolver:

Operamosde ambos lados

Operamos ambos lados con

solución general
Ejemplo # 2
Resolver:
*
Solución:
Buscamos la forma ø(y)y'= ÿ(x)

donde es Ec. separable.

por Sustitución:

, Operamos e^() en ambos lados de la ecuación.
Obteniendo:

Problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias
Muchos problemas físicos conducen a modelos matemáticosque expresan la tasa de cambio de la magnitud física de interés a través de una ecuación diferencial. Por ejemplo, en el marco de la mecánica clásica, la ecuación de movimiento de una partícula de masa m sujeta a una fuerza ~F está dada por la segunda ley de Newton
~F = m~a.
Ya que la aceleración es la derivada segunda de la posición, que denotaremos por ~x, la ecuación diferencial involucradaes:
¨~x =m(~x, ¨~x, t)
Donde la fuerza puede depender de la posición, la velocidad y eventualmente, explícitamente del tiempo. En el contexto más abstracto de la formulación Hamiltoniana de la mecánica clásica, las coordenadas generalizadas qi y los impulsos generalizados pi (i=1,2,3) toman el lugar de la posición y velocidad de la formulación Newtoniana, y la ecuación de movimiento delsistema formado por muchas partículas es descrito por un conjunto de ecuaciones diferenciales de una función de las coordenadas e impulsos generalizadas conocida como el Hamiltoniano del sistema: H = H(pi, qi). Tal conjunto de ecuaciones diferenciales son las ecuaciones de Hamilton.
q˙i = ∂H ∂pi , ¨ pi = −∂qi
El objeto de esta unidad es considerar los métodos numéricos efectivos para resolver estetipo de ecuaciones diferenciales. Olvidando, por el momento, el origen físico de las ecuaciones diferenciales planteadas, consideremos la matemática involucrada en la resolución de la ecuación diferencial. El caso más simple que podemos considerar es el problema de determinar una función diferenciable y = y(t) de una variable real, cuya derivada y′(t) satisface una ecuación de la forma más brevementeEjercicios 1.1
 En los problemas 1 a 10, diga si las ecuaciones diferenciales dadas son lineales o no lineales. Indique el orden de cada ecuación:

Problemas de mezclas
C1 1ª cantidad. C1 = x
C2 2ª cantidad. C2 = Cm - x
Cm Cantidad de la mezclaCm = C1 + C2
P1 Precio de la 1ª cantidad
P2 Precio de la 2ª cantidad
Pm Precio de la mezcla
C1 · P1 + C2 · P2 = Cm · Pm
También podemosponer los datos en una tabla
  | Cantidad | Precio | Coste |
1ª sustancia | C1 | P1 | C1 · P1 |
2ª sustancia | C2 | P2 | C2 · P2 |
Mezcla | C1 + C2 | P | C1 · P1+ C2 · P2 |
C1 · P1 + C2 · P2 = (C1 + C2) · Pm
Un comerciante tiene dos clases de café, la primera a 40 € el kg y la segunda a 60 € el kg.
¿Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de café para obtener 60 kilos de mezcla a50 € el kg?
  | 1ª clase | 2ª clase | Total |
Nº de kg | x | 60 − x | 60 |
Valor | 40 · x | 60 · (60 − x) | 60 · 50 |
40x + 60 · (60 − x) = 60 · 50
40x + 3600 − 60x = 3000;    − 60x + 40x = 3000 − 3600;   20x = 600
x = 30;   60 − 30 = 30
Tenemos que mezclar 30 kg de la 1ª clase y otros 30 de la 2ª clase.
Exponenciales
Existe otra función matemática muy importante, conocidacomo exponencial. La forma canónica de una función exponencial es la siguiente:
| (3.9) |
corresponde a la amplitud máxima de la exponencial y se conoce como la constante de tiempo de la exponencial. La constante de tiempo es el tiempo que demora la exponencial en decaer , es decir:
| (3.10) |
La figura 1.5 muestra el gráfico de una función exponencial para y . En la ecuación 1.9 e es el...