Ecuaciones Diferenciales De Variables Separables

CAPÍTULO

2
Métodos de solución de ED de primer orden

2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables
El primer tipo de ED que presentamos es el de variables separables, porque con frecuencia se intenta separar las variables de las ecuaciones de dos variables. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 2.2.1 Separar las variables de la siguiente ecuación algebraica .x 2 x/.y 2 C 3/ D 2xy.

HPor separar las variables de la ecuación se entiende que, por medio de operaciones algebraicas válidas, se coloquen todas las x de un lado de la igualdad y todas las y del otro lado. En este caso, .x 2 x/.y 2 C 3/ D 2xy ) x2 x x D y2 2y : C3

Como explicamos, se han colocado las x del lado izquierdo de la ecuación y las y del lado derecho. Ejemplo 2.2.2 Separar las variables de la siguiente EDdy D 2 dx .x 2xy . x/.y 2 C 3/

Entonces tenemos:

H Para una ED como ésta, separar variables significa que, por medio de operaciones algebraicas válidas, se escriba la ED en la forma: g.y/ dy D h.x/ dx : dy D 2 dx .x g.y/ D y2 C 3 y 2xy y2 C 3 2x ) dy D 2 dx : 2 C 3/ x/.y y x x & h.x/ D 2x ; x2 x con y ¤ 0 y x2 x ¤ 0:

Y ahora:

Del resultado anterior, se concluye que la ecuacióndiferencial bles separables.
1. canek.azc.uam.mx: 22/ 9/ 2010

dy D 2 dx .x

2xy es una ED de variax/.y 2 C 3/

1

2

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Una ecuación diferencial forma:

y0 D

dy D f .x; y/ es de variables separables si podemos escribirla en la dx g.y/ dy D h.x/ dx :

El método para resolver una ecuación diferencial de variables separables consiste en integrar estaúltima igualdad, es decir: g.y/ dy D h.x/ dx )

) ˛.y/ C C1 D ˇ.x/ C C2 ) ˛.y/ ˇ.x/ D C2 C1 ) ) .x; y/ D C , que es la solución general de la ED. En general, la solución queda definida de manera implícita. Ilustramos este método con los ejemplos siguientes:

Ejemplo 2.2.3 Resolver la ecuación diferencial y 0 D H Separando las variables tenemos:

dy D sen x. dx

dy D sen x ) dy D sen x dx :dx Integrando directamente: dy D que es la solución general de la ED. Ejemplo 2.2.4 Resolver la ecuación diferencial y 0 D sen y. H Separando las variables tenemos: dy dy D sen y ) D dx : dx sen y Integrando: dy D sen y dx ) csc y dy D x C C ) ln j csc y cot y j D x C C : sen x dx ) y D cos x C C;

Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita. dy D 2 dx .x2xy . 2/.y 2 C 3/

Ejemplo 2.2.5 Resolver la ecuación diferencial H Separando las variables: dy D 2 dx .x

2xy y2 C 3 2x ) dy D 2 dx : 2/.y 2 C 3/ y x 2

2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables Integrando: y2 C 3 dy D y 2x x2 2 dx ) ) Ã Â 3 yC dy D ln x 2 y 2 CC )

3

y2 C 3 ln j y j D ln x 2 2 C C : 2 Esta última expresión representa la solución general de la ED en formaimplícita. Observaciones. En este punto es pertinente aclarar que el uso del valor absoluto en la integral dy D ln j y j C C y es la forma correcta de aplicar esta fórmula de integración. Sin embargo, con cierta frecuencia en las páginas siguientes y en el resto del libro, el lector podrá encontrar varias veces du D ln u C C: u Esto se hace por facilidad de escritura o bien por conveniencia, parahacer algunas manipulaciones y conseguir despejar a la variable dependiente en la solución de la ED. Se supone también que el lector conoce, por sus cursos previos de Cálculo, las convenciones usuales en la manipulación de funciones elementales. Así por ejemplo, al escribir no hace falta insistir que, para que y sea una función bien definida, se debe cumplir j f .x/ j Ä 1. sen y D f .x/ ) y DarcsenŒf .x/;

En lo sucesivo omitiremos mencionar explícitamente restricciones tales como que los denominadores deben ser ¤ 0, que los argumentos del logaritmo deben ser positivos, etc., a menos que se considere necesario. También para el resto del libro haremos algunas convenciones sobre la constante de integración que se añade en las integrales indefinidas, como por ejemplo, cuando anotamos,...