Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones Diferenciales ordinarias de 1er Orden.

Variables separables.
Una de ecuación de la forma M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0 si las funciones M o N dependen de una sola variable, bien sea que M dependa solo de x o y y N solo dependa de x o y.
Sea M(x,y) = g(x) y N(x,y) = f(y) entonces:
g(x) dx + f(y)dy = 0
luego:
f(y)dy = g(x) dx
integramos de ambos lados de la igualdad.

Ejemplo:(x-1)dy = 2xy

(x-1) dy = 2xy
dx
Pasamos el (x-1) y el diferencial de x al lado derecho de la igualdad.
dy = 2xdx
y (x-1)
Integramos de ambos lados de la igualdad.

∫ dy = ∫ 2xdx
y (x-1)
El lado derecho es una integral inmediata, mientras que en el izquierdo hacemos una división de polinomios.

lny = ∫ 2dx + ∫ 2dx +c
(x-1)

lny = 2x + 2 ln(x-1) +c

Nota: Por medio dede transformaciones adecuadas algunas ecuaciones diferenciales se pueden transformar en ecuaciones diferenciales de variables separables.
1.- Dada la ecuación diferencial de la forma :

dy = f(ax + by + c) Donde b≠0
dx

Realizando la sustitución
u = ax + by + c
du = a + b dy
dx dx

Obtenemos una ecuación diferencial en u y x la cual es de variables separables.

Ecuacionesdiferenciales homogéneas.
Se dice que una ecuación f(x,y) es homogénea de grado n, para algún número real n se cumple:

f(xt,yt) = tn f(xt,yt)
Una ecuación diferencial
dy = f(x,y)
dx

Se llama homogénea, si f(x,y) es una función homogénea de grado cero. Estas ecuaciones tienen la forma
Y se reducen a variable separable mediante la sustitución z = y/x o z = x/y.
Diremos que la ecuacióndiferencial de la forma M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0 es homogénea si M(x,y) y N(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado, es decir M(x,y) = tn M(x,y) y N(x,y) = tn N(x,y). Estas ecuaciones se reducen a variables separables mediante la sustitución:

y = zx o x = zy
dy = xdz + zdx dx = ydz + zdy

Ecuaciones de la forma.

dy = f ( a1x + b1y + c1 )
dx a2x + b2y + c2
Se reduce a homogéneasiguiendo el procedimiento:
a) Si a1b2 - a2b1 ≠ 0 entonces las rectas L1:a1x+b1y+c1 = 0 y L2:a2x+b2y+c2 =0 no son paralelas. Se procede:
I. Se halla el punto de corte entre las dos rectas (h,k).
II. Se hace el cambio de variable
x = u +h y = v +k
dx = du dy = dv
III. Se sustituye en la ecuación diferencial y se obtiene una ecuación homogénea en las variables u y v.
b) Si a1b2 - a2b1 = 0entonces las rectas L1:a1x+b1y+c1=0 y L2:a2x+b2y+c2=0 son paralelas. Se procede:
I. Se hace el cambio de variable
u = a1x + b1y o u= a2x + b2y
u’= a1 + b1y’ u’=a2 + b2y’
II. Se sustituye en la ecuación diferencial y se obtiene una ecuación separables en las variables u y x.


Ecuaciones Diferenciales Lineales De Primer Orden.

Se llama ecuaciones diferenciales de primer orden a unaecuación de la forma:
dy +P(x)y = Q(x)
dx
Donde P(x) y Q(x) son funciones que dependen solo de x.
Si Q(x) = 0 la ecuación es separable.
De la forma
dy +P(x)y = 0
dx

dy = -P(x)y
dx

dy = -P(x)dx
y

Integrando de ambos lados.
∫ dy = ∫ -P(x)dx
y

Que el lny = k e-∫P(x)dx es la solución general.
Tenemos que para una ecuaciones donde Q(x) es distinto de 0, entoncesla solución general de la ecuación diferencial es igual a y = yc + yp.
Donde yc es la solución con el Q(x) igual a cero.

1° Método de solución.

I. Hale yc (x) = ke-∫P(x)dx
II. Supongamos que k = k(x).
III. Supongamos además que y(x) = k(x)e-∫P(x)dx (A)
IV. Hallamos la forma de que k(x) para que y(x) = k(x)e-∫P(x)dx sea solución de y’+P(x)y = Q(x).
V. Sustituyo la función k(x)en (A) para obtener la solución general de la no homogénea.


2° Método de solución.

dy +P(x)y = Q(x)
dx

Considero la función μ(x) = e-∫P(x)dx llamada factor integrante.
Multiplicamos toda la ecuación diferencial por μ(x).
μ(x).dy + μ(x).P(x)y = μ(x).Q(x)
dx

Pero note que el primer término de la ecuación, es igual a
d [ μ(x)y ] = μ(x) dy + μ(x)P(x)y
dx dx
Luego...