Ecuaciones Diferenciales

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DE EDUCACION SUPERIOR

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO SANTIAGO MARINO

INGENIERIA INDUSTRIAL SECCION JN

ANZOATEGUI SEDE BARCELONA

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PROFESOR: AUTOR:

ORLANDO MARTINEZJOSE R LOPEZ C.I. 20.874.557

BARCELONA, JULIO DE 2010

Ecuación Diferencial
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Se llama ecuación diferencial a una ecuación que liga la variable independiente x, la función incógnita y = y(x) y sus derivadas y´, y´´,...,y(n), es decir, una ecuación de la forma:
En otras palabras, se llama ecuación diferencial a una ecuación en laque figura la derivada o la diferencial de la función incógnita.
Diferencial Exacta
Una ecuación diferencial M(x,y) + N(x,y) es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencia de alguna función F(x,y). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Es una ecuación diferencial exacta o ecuación exacta), si la expresión del ladoizquierdo es una diferencial exacta.

ECUACIÓN DE EULER:
Dichas ecuaciones son de la forma:
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Se puede transformar mediante cambios en ecuaciones lineales homogéneas de orden [pic]
. El cambio consiste en hacer:
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Y así sucesivamente. Para el caso de [pic]
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Ejemplo:
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Sustituyendo:
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Resolviendo y deshaciendo el cambio:
[pic]Ecuacion Lineal
Para una ecuacion diferencial lineal, un problema de valores iniciales de orden n es:

an(x) dny + an-1(x) dn-1 + … + a1(x) dy + a0(x)y = g(x)
dxn dxn-1 dx

y(x0) = y0, y’(x0) = y1,…, y(n-1)x0 = yn-1

Para un problema como este, se busca una función definida en algún intervalo I que contenga a x0, ysatisfasga la ecuación diferencial y las n condiciones iniciales especificas en x0: y(x0) = y0,y’(x0) = y1,…, y(n-1)(x0) = yn -1. Ya vimos que en el caso de un problema de valores iniciales de segundo orden, una curva de solución debe pasar por el punto (x0, y0) y tener la pendiente y1 en ese punto.

Tipos de Singularidades

La solución de la ecuación homogénea de segundo orden

A(x)y’’ +B(x)y’ + C(x)y = 0 (1)

Cerca del punto singular. Recuerde que las funciones A, B y C son polinomios que no tienen factores comunes de modo de los puntos singulares de la ecuación (1) son simplemente aquellos en que A(x) se anula. Por ejemplo, x = 0 es el único punto singular de la ecuación de Bessel de orden n,

[pic]x2y’’ + xy’ + (x2 – n2)y = 0

En tanto que la ecuación de Legendre de orden n(1 – X2)y’’ – 2xy’ + n(n + 1)y = 0,

Tiene los dos puntos singulares x = -1 y x = 1. De ello resulta que algunas de las características de la soluciones de ecuaciones muy importantes para las aplicaciones son determinadas en gran medida por su comportamiento cerca de los puntos singulares.

Restringiremos nuestra atención al caso en el que x = 0 es un punto singular de la ecuación (1). Unaecuación diferencial que tenga como punto singular de x = a se transforma fácilmente mediante la sustitución t = x –a en una que tenga el punto singular correspondiente en 0. Por ejemplo, sustituyamos t = x -1 en la ecuación de Legendre anterior. Dado que

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y 1 – x2 = 1 – (t + 1)2 = -2t – t2, obtenemos la ecuación

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Esta nueva ecuación tiene el punto singular t = 0 correspondientea x=1 de la ecuación original; tiene también el punto singular t = -2 correspondiente a x = -1.

Una ecuación diferencial que tenga un punto singular en 0 por lo regular no tiene soluciones en serie de potencia de la forma y = ∑Cnxn, así que el método directo de la sección falla en este caso. Para ver la forma que podría tomar la solución de una ecuación analítica y rescribámosla como...