Ecuaciones Diferenciales

UNIVERSIDAD JOSu00c9 ANTONIO PÁEZ
COORDINACIÓN DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA
ECUACIONES DIFERENCIALES
TEMA No. 4
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE ORDEN SUPERIOR
CON COEFICIENTES CONSTANTES
Profesores: Yajaira Tovar de Souto y Arnaldo Souto Tovar
I)

Demostrar que cada uno de los conjuntos de funciones son linealmente independientes:
1)

II)

e 2 x , e 2 x

2)

sen3 x, cos 3 x

e x , e x , e3x

ln x, x ln x, x 2 ln x

y  C1e

y  (C1  C 2 x)e 3 x

3)

y  e x C1 cos 2 x  C 2 sen 2 x 

4)

y  C1e 2 x  C 2 xe 2 x  C 3 x 2 e 2 x

5)

2x

 C2e

d 2 y dy
R:

 6y  0
dx 2 dx
d2y
dy
R:
 6  9y  0
2
dx
dx
2
d y
dy
R:
 2  5y  0
2
dx
dx
3
2
d y
d y
dy
R:
 6 2  12  8 y  0
3
dx
dx
dx
2
d ydy
R:
 3  2 y  e5x
2
dx
dx

3 x

2)

y  C1e x  C 2 e 2 x 

e5x
12

Escribir cada uno de los siguientes operadores como el producto de operadores de grados uno y dos:
1)

D  2D  12
R:
D  1D 2  1
D  2D  2D 2  2 D  4
D  2D  2D  1D  1
R:
D 2 D  12
R:
D  1D 2  D  1

D 3  4 D 2  5D  2

R:

D3  D2  D 1
4
3
3) D 2 D  8 D  16
4
2
4) D  5 D  4
2)

D  2D  D
3
6) D  1
5)

IV)

4)

Determinar la E.D.O lineal con coeficientes constantes cuya solución general viene dada por:
1)

III)

3)

4

3

R:
R:

2

Determinar la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:
1) y´´2 y´15 y  0

R:

y c  C1e 3 x  C 2 e 5 x

2)

y´´´ y´´2 y´ 0R:

y c  C1  C 2 e 2 x  C 3 e x

3)

d4y
d2y
2 2 0
dx 4
dx

R:

 

 

y c  C1  C 2 x  C3 cos 2 x  C 4 sen 2 x
3

4) 8 y´´14 y´15 y  0

R:

5) y´´´3 y´´ y´3 y  0

R:

d4y
d2y
6)
2 2  y 0
dx 4
dx

R:

x

y c  C1e 4  C 2 e

5
 x
2

y c  C1e x  C 2 e  x  C 3 e 3 x

y c  C1  C 2 x  cos x  C 3  C 4 x senx

7)y´´´ y  0

R:

x
x

 3  2
 3 

y c  C1e  x  e 2 C 2 cos
x   e C 4 sen
 2 
 2 x





d4y
d2y
8)
R:
y c  C1  C 2 x  cos 2 x  C 3  C 4 x sen 2 x
 8 2  16 y  0 :
dx 4
dx
d4y
9)
y0
dx 4
2
2
x
2
2   2 x
2
2 
R: y c  e 2 C1 cos(
x)  C 2 sen(
x  e
x)  C 4 sen(
x)
C 3 cos(
2
2 
2
2 


V)

Determinarla solución de los problemas de valores iniciales:
1)
2)
3)

D2 y  2y  0

D

3

3

y 0   2, y´0   

3 x 13
7
R:
y ( x)   e 2  e  x
2
5
5
; y 0  2, y´0   2 2 R: y ( x)  2 cos( 2 x)  2sen( 2 x )

2 D 2 y  Dy  3 y  0 ;



 D 2  4 D  4 y  0 ; y 0  0, y´0   2, y" 0   1
11 x 1  2 x 15 2 x
e  e  e
6
24
8
y 0  0, y´0   0,y´´0  0, y´´´0   1
1
R:
y ( x)  1  x  x 2  e x
2
R:

4)

VI)

D

4



 D3 y  0 ;

y ( x)  

Determinar la solución general, y  y c  y p , de las siguientes ecuaciones diferenciales:
1) y´2 y  x sen x

R:

y c  C1e 2 x
yp 

2)

d4y
d2y
 2 2  y  ex
dx 4
dx

:

R:

y c  C1  C 2 x e  x  C 3  C 4 x e x
yp 

3)

4)

d4y
d2y 8 2  16 y  sen 2 x  1
dx 4
dx

R:

y´´ y  e 2 x :

R:

y c  C1  C 2 x  cos 2 x  C 3  C 4 x sen 2 x
yp 
y c  C1 cos x  C 2 senx
yp 

:
5)

y´´9 y 

9x
e 3 x

R:

y c  C1e 3 x  C 2 e 3 x

yp 

6)

7)

d4y d3y

 x  ex
dx 4 dx 3

y c  C1  C 2 x  C 3 x 2  C 4 e x

R:

yp 

y´´´ y´´4 y´4 y  e x sen 2 x  1  x 2 :
y c C1e x  C 2 cos 2 x  C 3 sen 2 x

R:

yp 
8)

y´´´ y´´4 y´4 y  cos 2 x  e  x  x 2
y c  C1e  x  C 2 cos 2 x  C 3 sen2 x

R:

yp 
9)

y´´´5 y´´8 y´4 y  e 2 x  e x  0

y c  C1e x  C 2  C 3 x e 2 x

R:

yp 
10)

x

y´´2 y´2 y  e x  0
8

y c  C1 cos x  C 2 senx e x

R:

yp 
11)

d5y
d4y
d3y d2y
 2 4  2 3  2  e x...