Ecuaciones Diferenciales

Ecuación diferencial lineal
Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma general y comprensible de escribir la ecuación es de la siguiente forma:
[pic]O usando otra notación frecuente:
[pic]
Vemos que lo que define que una ecuación diferencial sea lineal es que no aparecen productos de la función incógnita consigo misma ni ninguna de susderivadas. Si usamos la notación [pic]para denotar el operador diferencial lineal de la ecuación anterior, entonces la ecuación anterior puede escribirse como:
[pic]
Estas ecuaciones tienen la propiedad deque el conjunto de las posibles soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda a la hora de encontrar dichas soluciones.

Ecuación lineal de primerorden

Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:
[pic]
Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas en un intervalo [a,b] ( (. La solución de esta ecuación vienedada por:
[pic]
Resolución detallada
Es Posible encontrar una forma explícita para las soluciones de esta ecuación, la idea consiste en encontrar una función w(x) que nos permita transformar:[pic]
en la derivada de un producto.
Para ello necesitamos que w’(x) = w(x)P(x). En efecto, si despejamos P(x) e integramos ambos miembros tenemos w’(x)/w(x) dentro de la integral y por resolución deintegrales sabemos que es el logaritmo de w(x). Despejar el logaritmo es convertir en exponencial ambos miembros, y así obtenemos
[pic][pic]
Ahora si multiplicamos la ecuación diferencial por w(x)obtenemos:
[pic]
Lo que equivale a escribir:
[pic]

[pic]Con [pic].
Finalmente, todas las soluciones de la ecuación diferencial pueden ser calculadas usando la expresión:
[pic]

Ecuacioneslineales de orden n

Del mismo modo que se ha definido la ecuación diferencial lineal de primer orden como podemos definir una ecuación diferencial de orden n como:
[pic]
Donde la derivada mayor que...