Ecuaciones Diferenciales

MECANICA DE FLUIDOS
La mecánica de fluidos estudia el movimiento de los fluidos (gases y líquidos) así como las fuerzas que los provoca. Una característica de los fluidos es su incapacidad para resistir esfuerzos cortantes (lo que provoca que carezcan de forma definida). También estudia las interacciones entre el fluido y el contorno que lo limita.
Partiremos de la idea de cómo describir laspartículas que conforman el fluido en su movimiento a través de una línea de corriente, después podemos imaginar un tubo formado por muchas líneas de corriente (sin salidas ni entradas, completamente cerrado).
SIMPLIFICACIÓN DEL MODELO
En esta práctica asumiremos el comportamiento de un fluido ideal con las siguientes características:
1.- El fluido será incomprensible (consideramos la densidadconstante a través del tiempo)
2.- El fluido no tiene rotación (significa que las líneas de corriente no rotan)”sin remolinos”
3.- El fluido será no viscoso (se despreciará la fuerza de fricción entre el fluido mismo y su interacción con el recipiente).4.- El fluido será estacionario (la velocidad en un punto será constante en ese punto con respecto el tiempo)

Trabajando con la mecánica de Newton, consideramos una gota como una partícula y seguiremos la trayectoria de esa gota.
Consideremos una particula en un punto (x,y,z) que se mueve en una línea de corriente
Ahora, consideremos un tubo, este tubo tendrá la siguienteparticularidad:
1.- No habrá entradas ni salidas extras de fluidos (el tubo esta totalmente sellado)

A lo largo de este tubo, pasaran muchas líneas de corriente, consideremos 2 puntos
Estos puntos tendrán una masa, entonces consideremos un dm_1(diferencial de la masa del punto 1) y también un dm_2(diferencial de la masa del punto 2)
Donde dm_1 lo podemos ver como dm_1= p_1 dv_1 (la densidad enel punto 1 “p_1” por un diferencial de volumen "dv_1 " ) donde dv_1 es el Area 1 "A_1 " en la distancia ds_1 que se desplaza ese punto, lo mismo aplica para el punto 2
Ahora en base a esto podemos decir que
dm_1= p_1 A_1 ds_1 y para el punto 2 dm_2= p_2 A_2 ds_2
Pero como es obvio esa particula lleva una velocidad “V_1”
Estamos considerando algo tan pequeño (un diferencial), entonces comoes tan pequeño esta velocidad es considerada una CONSTANTE y si es constante se dice que:
Espacio = Rapidez * Tiempo
Entonces
ds_1= V_1 dt y ds_2= V_2 dt
ahora uniendo los resultados, tenemos.
dm_1= p_1 A_1 V_1 dt y dm_2= p_2 A_2 V_2 dt
asi entonces
(dm_1)/dt = p_1 A_1 V_1 y (dm_2)/dt = p_2 A_2 V_2

La razón de cambio de la masa por unidad de tiempo en el tubo es ladensidad en el punto 1 por el área del punto 1 por la velocidad en el punto 1
Lo mismo pasa en el punto 2
Pero como ya expusimos al principio, estamos considerando un tubo donde no hay entradas ni salidas extra de fluidos
En principio decimos que hay una conservación esto implica que:
(dm_1)/dt = (dm_2)/dt
=>
p_1 A_1 V_1 = p_2 A_2 V_2
Pero habíamos dicho que el fluido es incomprensible “ladensidad permanece constante”, por este motivo la densidad se cancela.



CONSTRUCCION DE LA ECUACION DE CONTINUIDAD
Todo lo que entra sale
Consideramos un diferencial.
Como no hay entradas ni salidas extras(la cantidad de entrada y salida serán iguales)
CAUDAL(es una magnitud escalar ”número”)


TEOREMA DE LA CONSERVACION DE LA ENERGÍA MECANICA
El teorema de la conservación de laenergía mecánica establece que el trabajo realizado sobre un cuerpo se invierte, exactamente, en aumentar algún tipo de energía.
Cuando en un sistema sólo hay fuerzas conservativas: la energía mecánica permanece constante. La energía cinética se transforma en energía potencial y viceversa.
Cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas no conservativas, como las de rozamiento, la energía mecánica ya no...