Ecuaciones diferenciales
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Publicado: 16 de julio de 2014
1. SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES
4. Demostrar que (y - C)² = Cx es la primitiva de la ecuación
diferencial 4x²y''+ 2xy' = 0 y hallar las ecuaciones de las curvas integrales que pasan por el punto (1,2).
Solución
(y - C)² = Cx
(y - C) = ±
y = C ±
Derivando tenemos
y' = ± = ±Volviendo a derivar:
y'' = ±
y'' = ±
Reemplazando en la ecuación diferencial
4x²y'' + 2xy' = 4x² + 2x
= ± ± = 0
Luego
4x²y'' + 2xy' = 0
Y por lo tanto (y - C)² = Cx es primitiva de la ecuación diferencial
4x²y'' + 2xy' = 0
Cuando pasa por (x, y) = (1, 2) reemplazando en (y - C)² = Cx
(C – 2)² = C (1)
C² - 5C + 4 = 0
C = 4 ˄ C = 1
Por ende hay 2Curvas Integrales
(y – 1)² = x ; si C = 1
(y – 4)² = 4x ; si C = 4
3. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO
3.1. SEPARACION DE VARIABLES
4. x(y – 3)dy = 4ydx
Solución
dy = dx
dy = dx
Integrando
dy = dx + c
y – 3 + = 4 + + c
=
y =
y =
5. (y² + xy²)dy = (x² - x²y) dx = 0
Solución
y²(1 +x)dy + x²(1 – y)dx = 0
dy + = 0
dy + dx = 0
Integrando
dy + dx = c
- [ – 2(1 – y) + ]+ + - 2(x + 1) + + = c
Operando tenemos:
+ 2(1 – y) – + - 2(x + 1) + = k
6. x + y y' = 0
Solución
dx + dy = 0
dx + dy = 0
Integrando
dx + dy = c
+ + + = c
= ( k - )
= (k - )²
= (k - )² - 1y² = ±
7. Hallar la solución particular: (1 + x³) dy - x²ydx = 0 ,que satisfaga las condiciones iniciales x = 1 , y = 2.
Solución
(1 + x³) dy - x²ydx = 0
dy - dx = 0
- dx = 0
Integrando
- dx = 0
+ - + = c
= k +
Para: x = 1 , y = 2
= k +
k = 0.46
La solución particular es :
= 0.46 +
8. Hallar la soluciónparticular de :
dx + (1 + ) dy = 0, cuando x = 3, y =
Solución
dx + (1 + ) dy = 0
dx + dy = 0
dx + dy = 0
Integrando
dx + dy = 0
+ - ln + = c
ln = k -
Cuando x = 3 → y =
k = + ln
k = 3.742
La solución particular es:
ln = 3.742 -
9. Hallar la solución particular de:
dp = p dα , cuando α = 0, p = 1
Solución
dp = p dα
=dα
Integrando
=
ln + = - ln +
ln + ln = k
Si α = 0 → p = 1
ln + ln = k
k = 0
⇒ ln + ln = 0
ln = 0
= 1
= = sec α
La solución particular es:
P = sec α
3.2 REDUCCION A VARIABLE SEPARADA
1. Resolver: (x + y)dx + (3x + 3y – 4)dy = 0
Solución
(x + y)dx + (3x + 3y – 4)dy = 0 ……………….. ( I )
Sea z = x + y
dz = dx + dy= 1 +
⇒ = - 1 ……………………. ( II )
Reemplazando ( I ) en ( II )
z + (3z – 4)( - 1 ) = 0
z + 3z - 3z - 4 + 4 = 0
3z - 2z - 4 + 4 = 0
(3z – 4) = 2z – 4
dz = dx
dz =
Luego:
dz = dz
= dz
= ) dz
= [3 + ) dz]
= [3z + 2 ln∣ ] +
También
= x +
⇒ [3z] + ln∣ + = x +
Como z = x + y
(x + y) + ln∣ - x = k
Como
=dx
= [ - ]
= - - -
= + +
La solución particular es: = - + + + +
La solución total es : y = +
y = + + - + + + +
19. y'' - y' = x²
Solución
Sea P(r) = r² - 1 = 0 ⇒ = 1 , = -1 ; La ecuación general de la homogénea es:
= +
La solución particular es:
= +
Tal que
+ = 0
- = x²
Donde:
==
Integrando
= -
= - (x + 1)
También:
= =
= = -
= - (x – 1)
Luego la solución particular es:
= - (x + 1) + (-) (x – 1)
La solución es :
y = +
y = + - (x + 1) + (-) (x – 1)
20. y'' + y' = x cos x
Solución
Sea P( r ) = r² + 1 = 0 ⇒ = i , = -i
La ecuación general de la homogénea
= +
La solución...
4. Demostrar que (y - C)² = Cx es la primitiva de la ecuación
diferencial 4x²y''+ 2xy' = 0 y hallar las ecuaciones de las curvas integrales que pasan por el punto (1,2).
Solución
(y - C)² = Cx
(y - C) = ±
y = C ±
Derivando tenemos
y' = ± = ±Volviendo a derivar:
y'' = ±
y'' = ±
Reemplazando en la ecuación diferencial
4x²y'' + 2xy' = 4x² + 2x
= ± ± = 0
Luego
4x²y'' + 2xy' = 0
Y por lo tanto (y - C)² = Cx es primitiva de la ecuación diferencial
4x²y'' + 2xy' = 0
Cuando pasa por (x, y) = (1, 2) reemplazando en (y - C)² = Cx
(C – 2)² = C (1)
C² - 5C + 4 = 0
C = 4 ˄ C = 1
Por ende hay 2Curvas Integrales
(y – 1)² = x ; si C = 1
(y – 4)² = 4x ; si C = 4
3. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO
3.1. SEPARACION DE VARIABLES
4. x(y – 3)dy = 4ydx
Solución
dy = dx
dy = dx
Integrando
dy = dx + c
y – 3 + = 4 + + c
=
y =
y =
5. (y² + xy²)dy = (x² - x²y) dx = 0
Solución
y²(1 +x)dy + x²(1 – y)dx = 0
dy + = 0
dy + dx = 0
Integrando
dy + dx = c
- [ – 2(1 – y) + ]+ + - 2(x + 1) + + = c
Operando tenemos:
+ 2(1 – y) – + - 2(x + 1) + = k
6. x + y y' = 0
Solución
dx + dy = 0
dx + dy = 0
Integrando
dx + dy = c
+ + + = c
= ( k - )
= (k - )²
= (k - )² - 1y² = ±
7. Hallar la solución particular: (1 + x³) dy - x²ydx = 0 ,que satisfaga las condiciones iniciales x = 1 , y = 2.
Solución
(1 + x³) dy - x²ydx = 0
dy - dx = 0
- dx = 0
Integrando
- dx = 0
+ - + = c
= k +
Para: x = 1 , y = 2
= k +
k = 0.46
La solución particular es :
= 0.46 +
8. Hallar la soluciónparticular de :
dx + (1 + ) dy = 0, cuando x = 3, y =
Solución
dx + (1 + ) dy = 0
dx + dy = 0
dx + dy = 0
Integrando
dx + dy = 0
+ - ln + = c
ln = k -
Cuando x = 3 → y =
k = + ln
k = 3.742
La solución particular es:
ln = 3.742 -
9. Hallar la solución particular de:
dp = p dα , cuando α = 0, p = 1
Solución
dp = p dα
=dα
Integrando
=
ln + = - ln +
ln + ln = k
Si α = 0 → p = 1
ln + ln = k
k = 0
⇒ ln + ln = 0
ln = 0
= 1
= = sec α
La solución particular es:
P = sec α
3.2 REDUCCION A VARIABLE SEPARADA
1. Resolver: (x + y)dx + (3x + 3y – 4)dy = 0
Solución
(x + y)dx + (3x + 3y – 4)dy = 0 ……………….. ( I )
Sea z = x + y
dz = dx + dy= 1 +
⇒ = - 1 ……………………. ( II )
Reemplazando ( I ) en ( II )
z + (3z – 4)( - 1 ) = 0
z + 3z - 3z - 4 + 4 = 0
3z - 2z - 4 + 4 = 0
(3z – 4) = 2z – 4
dz = dx
dz =
Luego:
dz = dz
= dz
= ) dz
= [3 + ) dz]
= [3z + 2 ln∣ ] +
También
= x +
⇒ [3z] + ln∣ + = x +
Como z = x + y
(x + y) + ln∣ - x = k
Como
=dx
= [ - ]
= - - -
= + +
La solución particular es: = - + + + +
La solución total es : y = +
y = + + - + + + +
19. y'' - y' = x²
Solución
Sea P(r) = r² - 1 = 0 ⇒ = 1 , = -1 ; La ecuación general de la homogénea es:
= +
La solución particular es:
= +
Tal que
+ = 0
- = x²
Donde:
==
Integrando
= -
= - (x + 1)
También:
= =
= = -
= - (x – 1)
Luego la solución particular es:
= - (x + 1) + (-) (x – 1)
La solución es :
y = +
y = + - (x + 1) + (-) (x – 1)
20. y'' + y' = x cos x
Solución
Sea P( r ) = r² + 1 = 0 ⇒ = i , = -i
La ecuación general de la homogénea
= +
La solución...
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