Ecuaciones Diferenciales

Universidad Nacional Abierta Vicerrectorado Académico Área De Matemática

Ecuaciones Diferenciales (767-755) Cód. Carreras: 126-508 Fecha: 03-03-2012

MODELO DE RESPUESTAS SEGUNDAINTEGRAL(767-755) 03-03-2012 PREGUNTAS Y RESPUESTAS OBJ 1 PTA 1 Diga si la función
2

y= x

es o no una solución general de la ecuación diferencial:

x y´´- 3xy´+ 4y =0 .Justifique su afirmación. SOLUCIÓNPara verificar si

y= x

es o no solución

de la ecuación diferencial, basta con y sustituir en x2y´´- 3xy´+ 4y para ver

calcular la primera y segunda derivada de la función

y= x

si sevale la igualdad. OBJ 2 PTA 2 Enuncie y demuestre un teorema(de su preferencia) sobre existencia y unicidad. SOLUCION La respuesta depende del teorema escogido. En el medio maestro hay un teoremaenunciado OBJ 3 PTA 3 Resuelva la ecuación diferencial:
2 dy =(x+y+3) . dx

SOLUCION Esta ecuación se puede resolver de varias maneras. Por ejemplo mediante el método de sustitución obtenemos: Haciendo elcambio de variable v =x+y+3 , entonces y = v-3-x ,por lo tanto
dy dv dv 2 = −1 ⇒ = + 1 .Ésta es una ecuación de variables separables,y la solución se obtiene fácilmente: dx v dx dx

x=∫

dv 1+ vy 5
2

= arctan v + C ⇒ v = tan( x − C ).Debido a que v =x+y+3,la
2 dy =(x+y+3) es y(x)=tan(x-C)-x-3. dx

solución general de la ecuación original

OBJ 4 PTA 4 Aplique el método de Eulerpara aproximar la solución del problema de valor inicial y ´=

x+

, y(0)=-3, con tamaño de paso h=1 , en el intervalo [0 ,5].

SOLUCIÓN Recuerde :Dado el problema de valor inicial

dy = f ( x, y), y ( x 0) = dx

y

.

0

El método de Euler con tamaño de paso h consiste en aplicar la fórmula iterativa

exacta

Con

y = y + f ( x , y ) (n ≥ 0) y ( x ), y ( x ), y ( x ).... y ,y , y ,.... y ( x) x , x , x ..... y = 0, y = −3, x+ x 5
n +1 n n
,para calcular

aproximaciones

sucesivas

n

de los valores reales

1

2

3

1

2

3

de la solución

en...