ecuaciones diferenciales

UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y ESTADISTICA
ECUACIONES DIFERENCIALES:
Profesor: MSc. JAVIER A. MURILLO M.

2. SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL
Diremos que una función

cualquiera, definida en algún intervalo

es solución de una ecuación diferencial en dicho intervalo, si
sustituida en dicha ecuacióndiferencial la reduce a una identidad.
EJEMPLO 1:
Verifique si la función
diferencial

es solución de la ecuación

.

Para este caso derivamos la función

y obtenemos

.
Esta derivada se sustituye en la ecuación diferencial y obtenemos

Usted puede verificar que al realizar las operaciones se cumple la
igualdad, por lo tanto sí es una solución.
EJEMPLO 2:
Dada la ecuación diferencial

.Será

?

La ecuación diferencial se puede escribir de la forma
Y calculamos la derivada de la función para hacer la sustitución:
, y al sustituir tenemos
, al simplificar, tenemos la identidad.
Luego sí es una solución.

.

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EJEMPLO 3:
Muestre si la familia de curvas
ecuación diferencial

es solución de la

.

Calculemos la segunda derivada de la función,

Sustituimos en la ecuación diferencial,

Se tiene entonces la identidad, luego sí es una solución.
EJERCICIOS
Verifique si la función indicada es una solución de la ecuación
diferencial dada.

1.

;

2.

3.

i = K ℮-500 t

;

y'  

1
x2 ;

℮

y

1
C
x

4.

dy 3
 y0
dx x
;

5.

dz 2
t z  0
dt
;

y  ce

6.

2 y' '5 y'3 y  0 ;

y  C1e

y  cx 3
1
 t3
3

1
 x
2

 C2 e 3x

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7.

;

8.

y  2 y  5 y  0 ;

y  e x .Cos(2 x)

9.

y  x. y ;

 x2

y    c ,c  R
 4




10.

dy 1
 . y  3x
dx x
;

y  x 2  c.x 1

2

3. ECUACION DIFERENCIAL DE UNA FAMILIA DE
CURVAS
Como hemos visto dada una ecuación diferencial, su solución
general depende de una sola constante. El problema inverso es
dada una familia de curvasdependiendo de un parámetro obtener
la ecuación diferencial cuya solución sea la familia de curvas dada.
Por ejemplo, existe una familia de curvas para la función
como se muestra en la gráfica.

,

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Laecuación diferencial de esta familia de curvas viene dada por su
derivada,

A menudo, una ecuación diferencial de primer orden se da en forma
diferencial. La ecuación diferencial anterior se puede escribir como

Cada curva de la gráfica anterior debe ser solución de ella.
Veamos otro ejemplo, determinemos la ecuación diferencial de la
familia de curvas

. El gráfico de esta familia viene dadopor,

Derivemos la ecuación,
sabemos que

, pero de la familia de curvas

, reemplazamos

y obtenemos,

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Simplificando se tiene la ecuación diferencial

Un ejemplo más. Determinemos la ecuacióndiferencial cuya
solución sea la familia de curvas
es,

Derivando tenemos,

Despejamos A de esta ecuación pata tener,

. Su grafica

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Este valor lo podemos reemplazar en la familia de curvas y
tenemos,

Usted...