ecuaciones diferenciales

1

Ecuaciones diferenciales homog´
eneas

1. Utilizando el cambio de variable y = z α y eligiendo adecuadamente α integrar el
problema de valor inicial

xy
dy


= 2
dx
3x − y 4 .


y(2) = 1
Solution 1 Utilizamos el cambio de variable y = z α . Diferenciando tenemos
dy
dz
.
= αz α−1
dx
dx
Por tanto
αz α−1

dz
xz α
= 2
dx
3x − z 4α

y simplificando nos quedadz
1
=
dx
α

3x2

xz
− z 4α

.

Esta u
´ltima ecuaci´on puede ponerse de la siguiente forma
1
dz
=
dx
α

z/x
3 − z 4α /x2

y es claro que resultar´a homogenera cuando α = 1/2. En este caso queda como
dz
=2
dx

z/x
3 − z 2 /x2

que mediante el cambio
Z=

z
x

queda reducida a
dZ
2Z
+Z =
.
dx
3 − Z2
Esta u
´ltima, simplificada, da la siguiente ecuaci´onen variables separables
dZ
Z(Z 2 − 1)
=−
dx
Z2 − 3
cuya soluci´on es
Z2 − 3
dZ = −
Z(Z 2 − 1)
Usando

dx
+ cte .
x

Z2 − 3
3
1
1
=
−
−
Z(Z 2 − 1)
Z Z −1 Z +1

obtenemos
log

Z3
= − log |x| + cte
Z2 − 1

la cual queda
Z 3x
=k
Z2 − 1
donde k = ecte ∈ R. Deshaciendo los cambios tenemos
z
x
z
x

3

x
=k

2

−1

y
z3
=k
z 2 − x2
o lo que esequivalente
y 6 = k y 2 − x2 .
La soluci´on particular la calculamos usando y(2) = 1, es decir,
1 = k |1 − 4|
luego k = 1/3 y la soluci´on es
y6 =

1 2
y − x2 .
3

2. Encuentre la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial siguiente
(x −

√
√
xy − y)dx + xydy = 0

Solution 2 La soluci´on general viene dada por
√
√
√
x
√
√
√ + log x − y + log x − y = k
x− y
con k ∈ R.
2Ecuaciones diferenciales reducibles a homog´
eneas

1. Encuentre la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial siguiente
(x − y − 1)dx + (x + 4y − 1)dy = 0
Solution 3 La encuaci´on se transforma en la siguiente
dy
y−x+1
=
.
dx
x + 4y − 1

(1)

Hallando los puntos de corte de las rectas r1 ≡ y − x + 1 = 0 y r2 ≡ x + 4y − 1 = 0
obtenemos el siguiente cambio de variable

 X=x−1
 Y =y

que transforma la ecuaci´on 1 a la siguiente ecuaci´on homog´enea
dY
Y −X
=
.
dX
X + 4Y
Introduciendo el nuevo cambio de variable dado por Y = V X tenemos que la ecuaci´
on
anterior queda
X

dV
V −1
+V =
dX
1 + 4V

quedando entonces como
dV
1 + 4V 2
=−
dX
1 + 4V
lista para ser tratada como una ecuaci´on de variables separables. Esta ecuaci´on tiene por
Xsoluci´on
1 + 4V
dV = −
1 + 4V 2

dX
+ cte
X

Efectuamos la integraci´on de
1 + 4V
dV.
1 + 4V 2
Tenemos que
1 + 4V
1
1 8V
=
+
2
2
1 + 4V
1 + 4V
2 1 + 4V 2
por tanto
1
8V
1
1 + 4V
dV =
dV +
dV =
2
2
1 + 4V
2 1 + 4V
1 + 4V 2
1
1
log(1 + 4V 2 ) + arctan(2V ).
2
2
En definitiva, obtenemos que
√
1
log
1 + 4V 2 + arctan(2V ) = − log |X| + cte
2
donde

√
1log X 1 + 4V 2 + arctan(2V ) = cte.
2
Tomando exponenciales en la anterior igualdad tenemos
√
X 1 + 4V 2 Exp

arctan(2V )

2

=k

donde k = ecte . Deshaciendo todos los cambios obtenemos en primer lugar
√

X2

+ 4Y

2 Exp

arctan( 2Y
)
X

2

=k

quedando finalmente la integral general de la ecuaci´on diferencial



2y


 arctan x − 1 


 = k.
(x− 1)2 + 4y 2 Exp 


2



2. Encuentre la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial siguiente
(2x − 2y − 4)dx + (x − y + 10)dy = 0
Solution 4 Expresamos la ecuaci´on diferencial en la forma siguiente
dy
2x − 2y − 4
=−
dx
x − y + 10
(siempre que x − y + 10 = 0) y realizamos el cambio de variable V = x − y. Por tanto
tenemos que
dy
dV
=1−
dx
dx
y la ecuaci´on queda dela siguiente forma
1−

dV
2V − 4
=−
dx
V + 10

que simplificada resulta
dV
3V + 6
=
dx
V + 10
ecuaci´on de variables separables cuya soluci´on es
V + 10
dV =
3V + 6

dx + cte.

Por otro lado es facil comprobar que
V + 10
1
8
dV = V + log (V + 2) .
3V + 6
3
3
Por tanto
8
1
V + log (V + 2) = x + cte
3
3
y simplificando
V + 8 log (V + 2) = 3x + cte
de donde...