ecuaciones diferenciales



3. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

3.1. Aplicaciones geométricas


Definición 3.1. Se llaman trayectorias ortogonales o curvas ortogonales a una familia de curvas Φ(x, y) = c
(con c constante), a otra familia de curvas que cortan perpendicularmente a cada elemento de la familia de partida.


Observación 3.2. Recuérdese que dos rectasri (i = 1, 2) son perpendiculares si el producto de sus pendientes
vale −1, esto es:
1
m2 = − ,
1

donde mi denota la pendiente de ri (i = 1, 2).




Figura 3.1. Familia de circunferencias y curvas ortogonales a dicha familia (rectas).



Las curvas ortogonales a la familia Φ(x, y) = c pueden ser determinadas conforme indica el siguiente esquema:



1. Eliminamos elparámetro c derivando implícitamente en la familia de curvas de ecuación Φ(x, y) = c.



2. Se obtiene así la ecuación diferencial F (x, y, y0) = 0, que define a la familia dada.



3. Intercambiamos la pendiente y0 en la ecuación diferencial F (x, y, y0) = 0 por la pendiente perpendicular
1 1
− y0 , con loque resulta la ecuación diferencial F
x, y, − y0
= 0 que define a la familia ortogonal.


1
4. Resolvemos la ecuación F
x, y, − y0
= 0 obteniendo, por tanto, la familia ortogonal pedida.


Ejemplo 3.3. Determinar las trayectorias ortogonales a la familia de elipses x2 + 2y2 = c2 .



RESOLUCIÓN. Suponiendo y = y(x) eliminamos el parámetro c por derivación implícita, con lo queaparece la ecuación diferencial de la familia de elipses:

2x + 4yy0 = 0 ⇒ x + 2yy0 = 0.


Teniendo en cuenta que y0(x) es la pendiente de la recta tangente a la elipse y(x) de la familia considerada, reemplazamos y0 por −1/y0 para obtener la ecuación de las trayectorias ortogonales:


x + 2y
1
− y0
2y
= 0 ⇒ y0 = x ⇒
dy dx
y = 2 x .


Por último,integramos la ecuación de variables separadas resultante:


ln y = 2 ln x + K ⇒ y = kx2 .


Se concluye que las trayectorias ortogonales a la familia de elipses dada constituyen una familia de pará- bolas.





Observación 3.4.Físicamente, la familia Φ(x, y) = c de partida representa una familia de curvas de nivel o curvas equipotenciales, mientras que las trayectorias ortogonales Ψ(x, y, k) = 0 son las líneas de flujo del campo.



3.2. Problemas de desintegración radiactiva


Se pretende calcular la cantidad restante de una sustancia que se desintegra radiactivamente. Para ello,
sean:


y(t ) =‘cantidad de sustancia restante en el instante t ’,

y(0) = y0 = ‘cantidad inicial de sustancia’.

Es conocido que la desintegración radiactiva está sujeta a la siguiente ley:



«Ley de la Desintegración Radiactiva. La rapidez de desintegración de una sustancia radiactiva es proporcional a la cantidad de sustancia restante.»


Formulando la ley anterior para la cantidad de sustancia y(t )encontramos que ésta se rige por la ecuación diferencial ordinaria de variables separadas

y0(t ) = K y(t ),


donde K es una constante de proporcionalidad que depende de la sustancia estudiada. Pasando a notación diferencial, la solución general de la ecuación anterior viene dada por:
dy
dt = Ky ⇒
dy
y = K dt

⇒ ln y = Kt + c,

de donde


y(t ) = CeKt .


La constante C vienedeterminada por la cantidad inicial de sustancia: y0 = y(0) = C.
Para hallar la constante K es necesario conocer la vida media de la sustancia radiactiva en cuestión, que es el tiempo medio t1/2 que ésta tarda en reducirse a la mitad. Simbólicamente:


y(t1/2 ) =
y0 = y e
2 0

K t1/2 .

Por tanto:


= eK t1/2 ⇒ − ln 2 = K t1/2 ⇒ K = −

ln 2
.
t1/2...