ecuaciones diferenciales

La ecuación unidimensional de la onda rige las pequeñas vibraciones transversales de una cuerda elástica de longitud , suponiendo ésta homogénea, elástica y con densidad lineal constante .Despreciando la acción de la gravedad y considerando que el movimiento se produce solamente en sentido transversal se obtiene la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales conocida como ecuaciónunidimensional de onda:

(1)

Donde siendo la tensión de la cuerda.
Para efectos prácticos se considera que los extremos de la cuerda son fijos por lo que:

De igual manera se conoce eldesplazamiento y la velocidad inicial de la cuerda por lo que:




Resolución de la ecuación unidimensional de la onda

Consideremos que la solución de la ecuación (1) es de la forma :

(2)

Comola función presentada en (2) es la solución de la ecuación (1), satisface la misma, por lo que procedemos a derivar dos veces, tanto para como para

(3)
(4)

Reemplazando (3) y (4) en (1) setiene:


o su forma equivalente:

(5)

Lo cual nos produce un sistema de ecuaciones diferenciales:



Si utilizamos las condiciones de frontera del problema:



Se obtiene (algosimilar lo analizamos en clases) que

Resolvamos primeramente la ecuación (6)



Como lo analizamos en clases, no se puede dar que ya que en ese caso y por lo tanto .

Analicemos el caso de queSea
Como se analizó anteriormente en ese caso, . De igual manera se tendría que:

Con lo obtenido anteriormente estamos en condiciones de resolver la ecuación (7) ya que


la misma que alresolverla por los métodos desarrollados en el primer parcial, tiene soluciones de la forma:


Por lo que:



(8)

Es obvio que hay que determinar las constantes y , las mismas que hacenque satisfaga las condiciones iniciales:
(9)
(10)
Reemplazando en la ecuación (8) y considerando la condición (9) se tiene:


(11)

Como se puede observar...