Ecuaciones diferenciales

C AP´ ITULO

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Definici´ n 1.0.1 (Ecuaci´ n Diferencial). Una ecuaci´n que tiene las siguientes o o o caracter´ ısticas: La inc´gnita es una funci´n, no un n´mero, o o u La ecuaci´n contiene a una o m´s derivadas de la funci´n, o a o es una ecuaci´n diferencial. o

´ 1.1. Clasificacion de las Ecuaciones Diferenciales
´ 1.1.1. Clasificacion segun el Tipo´ Ordinaria. Si la ecuaci´n tiene s´lo derivadas ordinarias de una o m´s vario o a ables dependientes con respecto a s´lo una variable independiente. o Ejemplo: dy(t) dv(t) − =t dt dt Parcial. Si la ecuaci´n contiene las derivadas parciales de una o m´s variables o a dependientes de dos o m´s variables independientes. a Ejemplo: ∂u(x, y) ∂v(x, y) =− ∂x ∂y ´ 1.1.2. Clasificacion segun la naturalezaque tratan de modelar ´ Determinista. Si la ecuaci´n tiene una forma funcional que se conoce en o todo momento y permite conocer con certeza el valor de la ecuaci´n en el o

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futuro. Ejemplo: dy(t) =t dt Estoc´stica. Si en la ecuaci´n uno o m´s de sus t´rminos sigue un proceso a o a e estoc´stico, es decir, se comporta de acuerdo a una distribuci´nde probabilia o dad, como por ejemplo un movimiento browniano o un proceso de Poisson. Ejemplo: El valor de los activos de una empresa para cada instante t, V (t) que cotiza en la bolsa, se modela seg´n la ecuaci´n u o dV (t) = rdt + σV dBt , V (t) V0 > 0,

con r la tasa de rendimiento de los activos, σV la volatilidad y (Bt , t ∈ [0, ∞)) un movimiento Browniano.1 ´ 1.1.3. Clasificacion segun elOrden ´ Definici´ n 1.1.1 (Orden de la Ecuaci´ n). El orden de la derivada m´s alta en o o a una ecuaci´n diferencial es el orden de la ecuaci´n. o o Ejemplos: dy x = y, es de primer orden. dt 3 dy d2 y +5 = t, es de segundo orden. dt2 dt dy d(n) y F t, y, , ..., (n) = 0, es de orden n. dt dt ´ 1.1.4. Clasificacion segun Linealidad ´ Definici´ n 1.1.2 (Ecuaci´ n Diferencial Ordinaria Lineal). Unaecuaci´n difero o o encial ordinaria es lineal si tiene la forma: an (t)
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d(n−1) y dy d(n) y + an−1 (t) (n−1) + · · · + a1 (t) + a0 (t)y = g(t) (n) dt dt dt

(1.1)

El movimiento Browniano est´ndar (Bt , t ∈ [0, ∞)) es un proceso estoc´stico que satisface que B0 = 0 a a y que los incrementos ∆B = Bt − Bs son independientes y estacionarios y se distribuyen como una normal N (0, t − s) para s≤ t.

1.1 Clasificaci´n de las Ecuaciones Diferenciales o

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Caracter´ ısticas: a) La variable dependiente y junto con todas sus derivadas son de primer grado (potencia=1) b) Cada coeficiente depende s´lo de la variable independiente t. o Nota: Si en la ecuaci´n anterior el t´rmino g(t) = 0, se dice que la ecuaci´n difero e o encial es homog´nea e Ejemplos: Las siguientes son ecuacioneslineales: i) tdy + ydt = 0 d(2) y dy ii) −2 +y =0 dt2 dt (3) d(2) y dy 3d y iii) t − t2 2 + 3t = 5y + et dt3 dt dt Las siguientes no son ecuaciones lineales: d(2) y dy −2 =t 2 dt dt d(3) y v) t3 3 = y 2 dt iv) y Ejercicio: Indicar si las siguientes son ecuaciones lineales o no lineales: d(2) y dy − 4t + 5y = cos t dt2 dt 4 dy d(3) y ii) t 3 − 2 +y =0 dt dt dy iii) y + 2y = t dt i) ´ 1.1.5. Clasificacionsegun dependencia del tiempo ´ En general, una ecuaci´n diferencial ordinaria de orden n se expresa como o F (t, y, y , ..., y (n) ) = 0 (1.2)

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1 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Definici´ n 1.1.3 (Ecuaci´ n Diferencial Ordinaria Aut´ noma). Si la expresi´n o o o o F (t, y, y , ..., y (n) ) = 0 no involucra a t especif´ ıcamente, es decir, si la expresi´n se o puede escribir como: F(y, y , ..., y (n) ) = 0 (1.3)

aunque sepamos indirectamente que depende de t (ya que y(t)), recibe el nombre de ecuaci´n diferencial aut´noma o ecuaci´n diferencial independiente del tiempo. o o o Ejemplos: dy i) = 2y dt dy ii) = ey 2 + 5y dt d(4) y iii) 5 (4) + 5y 5 = 2 dt La expresi´n 1.2, que involucra espec´ o ıficamente a t, recibe el nombre de ecuaci´n diferencial no aut´noma o no...