Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales / Introducción

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6 ECUACIONES DIFERENCIALES

6.1

INTRODUCCION

Al estudiar por ejemplo, un fenómeno físico, con frecuencia no es posible hallar
de inmediato las leyes que enlazan las magnitudes que caracterizan dicho fenómenos.
Pero al mismo tiempo, se puede llegar fácilmente a establecer la dependencia entre esas
magnitudes y sus derivadas.
De esta forma, obtendremosecuaciones que involucran las derivadas de una
función desconocida, y la misma función. Este tipo de ecuaciones son llamadas
ecuaciones diferenciales. Su uso se ve en química, física, biología, economía, etc.
Ejemplo:
Desintegración Radioactiva:
Todas las sustancias radiactivas tienen la propiedad común de descomponerse
con una velocidad que es proporcional a la cantidad de sustancia presente encada
instante.
Si designamos por y = ϕ(t) la cantidad de sustancia radiactiva existente en el
instante t, la derivada y’ = ϕ’(t) representa la velocidad de cambio de “y” en el instante
t.
La ley de descomposición se expresa entonces:
y’ = - k y
donde k > 0, es una constante propia de cada sustancia. (El signo negativo se debe a que
y’ < 0, pues y(t) decrece cuando t crece)
Se puede demostrar que ∀c ∈ ℜ, ϕ(t) = c e-kt verifica la ecuación. Pero si
conocemos la cantidad de sustancia presente en un instante inicial t = t0, o sea ϕ(t0) =
ϕ0, logramos determinar por completo la ley:
ϕ(t) = ϕ0 e − k (t − t 0 )

(O sea, hay infinitas soluciones de la ecuación, una por cada valor posible ϕ (t0))

Cátedra de Matemática / Facultad de Química

Análisis I

Ecuaciones Diferenciales / Ecuación dePrimer Orden

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6.2

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

6.2.1 Definición
Definición 6.1:
i) Se llama ecuación diferencial de primer orden a una ecuación que
involucra una función y(t), su derivada y’(t) y la variable t
ii) Resolver la ecuación diferencial consiste en buscar las funciones ϕ(t)
que la verifican.

Nota:
A menudo, al intentar resolver una ecuación diferencial problemaencontramos
que admite muchas soluciones, pero si se exige además que la solución tome un valor
determinado y0 en un punto dado t0, o sea que sea ϕ(t0) = y0, entonces en condiciones
bastantes generales, hay solución única . Pedir que la función verifique ϕ(t0) = y0 es dar
una “condición inicial”.
Veremos como se resuelven algunas ecuaciones de este tipo.

6.2.2 Ecuaciones Diferenciales a Variablesseparables

Las ecuaciones diferenciales a variables separables son de la siguiente forma:
 y ' = f ( x) g ( y )

 y (t 0 ) = y 0

donde ƒ:I(⊆ℜ) → ℜ, continua en un intervalo I / t0 ∈ I y g:J(⊆ℜ) → ℜ, es continua en
un intervalo J / y0 ∈ J
Para poder encontrar las soluciones de dicha ecuación diferencial debemos
separarla en dos casos posibles:
Caso 1:

g(y0) ≠ 0

Supongamos g(y0) > 0 ⇒ ∃ un entorno dey0, J0 ⊆ J donde g(y) > 0.
Buscar la solución de la ecuación diferencial, es encontrar una función ϕ que
verifique ϕ(t0) = y0 y ϕ’(t) = ƒ(t)g(ϕ(t)) en I0, un subintervalo de I. ϕ va a ser una
función continua, por lo tanto existirá un entorno de t0, I0 ⊆ I, tal que ϕ(t) ∈ J0 ∀ t ∈ I0.
Entonces g(ϕ(t)) > 0
 ϕ ' (t )
= f (t )

Por lo tanto: ϕ(t) es solución ⇔  g (ϕ (t ))
∀ t ∈ I0 ⇔
 ϕ (t 0 ) = y0

Cátedra de Matemática / Facultad de Química

Análisis I

Ecuaciones Diferenciales / Ecuación de Primer Orden







∫

t
t0

∫

t

ϕ ' (t )
dt =
f (t )dt
∀ t ∈ I0 ⇔
g (ϕ (t ))
t0
ϕ (t 0 ) = y 0

ϕ (t ) du

∫y

0

g (u )

=

t

∫t f (t )dt

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∀ t ∈ I0

0

haciendo cambio de variable ϕ(t) = u en la primera integral
Viendo que la función G(y) =

∫

y

1
du
cumple G’(y) =
> 0 ∀ y ∈ J0
g (y)
y 0 g (u )

entonces está definida su inversa G-1:G(J0)→J0
Podemos concluir entonces que ϕ(t) es solución en I0 ⊆ I si y sólo si:
G(ϕ(t)) =

∫

 t

f (t )dt ∀ t ∈ I0 ⇔ ϕ(t) = G −1  f (t )dt  ∀ t ∈ I0
t0
 t0

t

∫

siendo I0 el mayor intervalo tal que

∫

t

f (t )dt ∈ G(J0)

t0

Aquí vemos además que la solución del problema es única
Caso 2: Si g(y0) = 0
Una solución seria ϕ(t) = y0 ∀...