Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones diferenciales. Notas de clase(En construcción)

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temas:
1. MODULO I. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER
ORDEN
a) Ecuaciones de variables separables o reducibles a la forma separable.
b) Ecuaciones exactas, factores integrantes y ecuaciones lineales de primer
orden.
c) Aplicaciones.
d ) Teoría de existencia y unicidad de soluciones.
2. MODULO II. ECUACIONES DIFERENCIALESLINEALES DE ORDEN
ARBITRARIO.
a) Operadores diferenciales lineales. Ecuaciones diferenciales lineales. Ecuación homogénea asociada. Estudio del conjunto solución.
b) Espacio solución de una ecuación diferencial lineal homogénea. Base para
el espacio solución de una ecuación diferencial lineal homogénea (Conjunto
fundamentales de soluciones). Independencia lineal y wronskiano.
c) Métodos para labúsqueda de una solución particular de una ecuación
diferencial lineal no homogénea: Método de coeficientes indeterminados y
método de variación de parámetros..
d ) Ecuación de Cauchy - Euler.
3. MODULO III TRANSFORMADA DE LAPLACE
a) Transformada de Laplace y transformada inversa.
b) Transformada de Laplace de derivadas e integrales. Aplicación a la solución de problemas de valor inicial. Aplicación ala solución de problemas
integro - diferenciales.
c) Propiedad de traslación transformada de la función escalón unitario.
Transformada de la función periódica.
d ) Derivación e integración de transformadas. Teorema de convolución.
4. MODULO IV. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR SERIES.

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V. Obeso Fernández

a) Introducción a la teoría de las series de potencias. Utilización de series depotencias para resolver ecuaciones diferenciales en torno a puntos ordinarios.
b) Soluciones de ecuaciones diferenciales lineales a los lados de puntos singulares regulares.
5. BIBLIOGRAFIA
a) Texto guía
ZILL, DENNIS G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado.
THOMSON. LEARNING. Séptima Edición.
b) Libros de consulta
c) BOYCE, William E. DIPRIMA, Richard C Ecuaciones Diferenciales yproblemas con valores en la frontera . LIMUSA. Cuarta Edición DERRICK, William. GROSSMANN. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones.
d ) Edwards,jr, C.H y Penney, David E.Ecuaciones Diferenciales Elementales
y problemas con condiciones en la frontera. Tercera edición

Capítulo 1

Generalidades.
Para comenzar introducimos la velocidad de cambio relativa.
Discusión 1.0.1. ¿Que significa que unapersona come 4 hamburguesas por
día?(cantidad relativas).
¿Que significa que una región come 4000000 de hamburguesas por día?(cantidad
absoluta).
¿Puede decir cuanto come una persona de la región?
Definición 1.0.1. La velocidad de cambio absoluta de una cantidad y es
La velocidad de cambio relativa de una cantidad y es

dy
.
dt

1 dy
.
y dt

Como ejemplo introductorio tomamos el siguiente.
Para lacaída libre de un objeto que se suelta desde una posición inicial y
cae por efecto de la gravedad, (se conoce que la fuerza es igual a la masa por la
d2 h
aceleración) se tiene que m 2 = −mg, donde m es la masa del objeto y g es la
dt
mts
pies
gravedad que aproximadamente es 9.8
o 32
2
seg
seg 2
d2 h
dh
De lo anterior puedo concluir que 2 = −g y entonces
= −gdt = −gt+c1
dt
dt
−gt2
+ c1 t + c2 .
y h= (−gt + c1 )dt =
2
3

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V. Obeso Fernández

Discusión 1.0.2. ¿Que significados tienen c1 y c2 ?
Tomamos otro ejemplo introductorio, la razón del decaimiento es proporcional
dQ
a la cantidad de sustancia radiactiva presente, lo cual puede expresarse
= −kQ,
dt
donde k es la constante de proporcionalidad y Q es la cantidad de sustancia
radiactiva inicial,
1
1
dQ = −kdt y entonces
dQ = −kdt
Q
Qque nos conduce a ln(Q) + c1 = −kt + c2 , al despejar Q tenemos eln(Q) = e−kt+c2 −c1
que es Q = e−kt ec2 −c1 que puede escribirse así.
Podemos reescribir para obtener

Q = Ce−kt
Discusión 1.0.3. ¿Q crece o decrece?
Definición 1.0.2. Si una ecuación contiene las derivadas o las diferenciales de una
o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, le
llamaremos...