Ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES
Soluciones Complementarias y Particulares Mediante Variación De Parámetros
Lo que necesitamos suponer con respecto al miembro derecho R(x) en la ecuación
(1) f(D)y = R(x)
es que R(x) tiene un comportamiento adecuado para que las integrales que encontremos existan.
Para la ecuación (1), una vez que se conocen las raíces de la educación auxiliar f(m) = 0, la funcióncomplementaria se escribe por inspección. Supóngase, por ejemplo, que (1) es de orden dos y su función complementaria esta dada por
(2) yc = c11(x) + c22(x),
donde c1 y c2 son constantes arbitrarias o (parámetros) y las 1 y2 por supuesto funciones conocidas.
En este caso se sigue el método de variación de parámetros. Primero, reemplazamos las constantes c1 y c2 por funciones desconocidas de x.digamos A y B. Esto es, hagamos.
(3) y = A1(x) + B2(x),
donde A y B puedan considerarse como dos nuevas variables dependientes. Aquí A y B reemplazan a los parámetros c1 y c2 de (2), solo que ahora estas cantidades pueden variar. Esta peculiaridad es lo que le da el nombre al método su nombre.
Ahora tenemos presentes tres variables independientes A, B, y y. Ellas deben satisfacer las ecuaciones(1) y (3) aunque, en general, tres variables pueden satisfacer a un conjunto de tres ecuaciones. Por tanto aquí en este caso, somos libres de imponer una condición más sobre A, B, y y.
De (3) se sigue que
(4) y' = A'1(x) + B'2(x) + A'1(x) + B'2(x),
Ahora vamos a imponer una tercera condición demandando que
(5) A'1(x) + B'2(x) = 0
Entonces se transforma en
(6) y' = A'1(x) + B'2(x),
de lo cualse tiene
(7) y'' = A''1(x) + B''2(x) + A''1(x) + B''2(x),
Que no involucra más derivadas de primer orden de Ay B.
Finalmente (3), (6) y (7) pueden usarse para eliminar y de (1), y podemos por tanto obtener una ecuación en A' y B' para compararla con (5). De aquí se ve que es posible encontrar A' y B', y entonces determinar A y B, por integración. Una vez que A y B son conocidas, la ecuación(3) nos da la y deseada.
El método se generaliza fácilmente a ecuaciones de un orden mayor que dos, pero no aparecen ideas esencialmente nuevas y los detalles pueden ser tediosos.
Ejemplo 1: Resolver la ecuación
 (D2 + 1)y = secx tanx
Por supuesto
yc = c1cosx + c2senx,
Vamos a buscar una solución particular por el método de variación de parámetros. Hagamos.
(9) yc = A cosx + B senx,
De locual se obtiene
y' = -A senx + B cosx + A' cosx + B' senx
En seguida hagamos
(10) A' cosx + B' senx = 0
Tal que
(11) y'' = -A cosx - B senx – A’ senx + B' cosx
Ahora eliminaremos y combinando las ecuaciones (9) y (11) con la ecuación original (8). Obtenemos entonces la relación.
(12) -A' senx + B' cosx = secx tanx
De (10) y (12) se elimina fácilmente A'. El resultado es
B' = tan x,Así que
 B = ln x,
en la que la constante, arbitraria ha sido descartada porque estamos buscando solo una solución particular para sumarla a nuestra función yc complementaria, previamente determinada.
A' = -senx secx tanx,
o
A' = -tan2x.
Entonces
A = - tan2x dx = (1- sec2x)dx,
Así que
(14) A= x - tan x,
otra vez desdeñando la constante arbitraria.
Volviendo a la ecuación (9), con la Aconocida de la ecuación (14) y la B de la ecuación (13), escribimos la solución particular
yp = (x - tanx)cosx + senx ln sec x
o
yp = x cosx - senx + senx ln sec x
entonces la solución general de (8) es
(15) y = c1 cosx + c3 senx + x cosx + senx ln secx
donde el término (- senx) en la yp ha sido absorbido en el término de la función complementaria c3 senx, ya que c3 es una constantearbitraria.
La solución (15) puede, como es usual, verificarse por sustitución directa en la ecuación diferencial original.
Ejemplo 2: Resolver la ecuación
Aquí
yc = c1ex + c2e2x,
de tal forma hacemos que
(17) yc = Aex + Be2x,
ya que
y'= Aex + 2Be2x + A'ex + B'e2x,
Imponemos la condición
(18) A'ex + B'e2x = 0
Entonces
(19) y' = Aex + B2e2x= 0,
De lo que se sigue que
(20) y' = Aex + 4Be2x...