Ecuaciones diferenciales

exactasFORMA DIFERENCIAL EXACTA

Definición (2) La forma diferencial M(x,y)dx + N (x,y)dy es exacta en un rectángulo R si existe una función F(x,y) tal que:

y

para toda (x,y) en R. Es decir, la diferencial total de F(x,y) satisface

dF(x,y) = M (x,y) dx + N (x,y) dy

Si M (x,y) dx + N (x,y) dy es una forma diferencial exacta, entonces la ecuación

M (x,y) dx +N (x,y) dy = 0 es una ecuación exacta.

El criterio de exactitud surge de la siguiente observación. Si

M (x,y) dx + N (x,y) dy =

entonces el teorema de cálculo relativo a la igualdad de las derivadas parciales mixtas continuas

Indica una “condición de compatibilidad “ sobre las funciones M y N.

De hecho, el siguiente teorema (2) indica que la condición de compatibilidadtambién es suficiente para que la forma diferencial sea exacta.

CRITERIO DE EXACTITUD

Teorema (2) Suponga que las primeras derivadas parciales M(x,y) y N(x,y) son continuas en un rectágulo R. Entonces

M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0

Es una ecuación exacta en R si y solo si la condición de compatibilidad

Se cumple para toda (x,y) en R** Este teorema fue demostrado por Leohard Euler en 1734

Ejemplo:

M N
( 2xy2 + 1 ) dx + ( 2x2y ) dy = 0

Confirmamos fácilmente las condiciones de compatibilidad:


Es una ecuación
diferencial exacta



MÉTODO PARA RESOLVER ECUACIONES EXACTAS

Paso I.- Si M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 esexacta, entonces integre esta última ecuación con respecto a x para obtener
z = F(x,y) = …. (1)

Paso II.- Para calcular F(y) , calcule la derivada parcial con respecto a y en ambos lados de la ecuación y sustituya N en vez de /. Ahora podemos hallar F1(y)

Paso III.- Integre F1(y) para obtener F(y) , al sustituir F(y) en laecuación (1) se obtiene F(x,y)

Paso IV.- La solución de M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 está dada de manera implícita por z = F(x,y) = C

En forma alternativa, partiendo de , la solución implícita se puede determinar integrando primero con respecto a y.
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Ejemplo: ( 1 + ex y + xexy ) dx + ( xex +2 )dy = 0

Es una ecuación
diferencial exactaVerificar que
la ecuación
sea exacta



Paso I.- Si es exacta, entonces integramos N (x,y) con respecto a y, , , integrando esta última ecuación ( N ) con respecto a y para obtener:

Z = = xexy + 2y + F(x) ….(1)
Al considerar la derivada parcialcon respecto a x y sustituir en M , obtenemos

= 1 + ex y + xexy , por lo tanto F1 (x) = 1 ; y

xexy + 2y + x = C
Z = xexy + 2y + x .

La solución de la ecuación de manera implícita es
En forma alternativa, partiendo de , la solución implícita se puede determinar integrando primero con respecto a x.

( 1 + ex y + xexy ) dx + ( xex +2 )dy = 0Verificar que
la ecuación
sea exacta

Es una ecuación
diferencial exacta





Paso I.- Si es exacta, entonces integramos M (x,y) con respecto a x, , integrando esta última ecuación ( M ) con respecto a x para obtener:

; Z = = x + exy+ xexy + exy + F(y)
Alconsiderar la derivada parcial con respecto a y y sustituir en N , obtenemos

=. xex + 2 por lo tanto F1 (y) = 2 – 2ex;
y por lo tanto tenemos : F(y) = 2y – 2 exy

sustituyendo F(y) e igualando a C, tenemos Z = x + 2exy + xexy + 2y - 2exy = C

xexy + 2y + x = C

La solución de la ecuación de manera implícita es :


Condiciones que debe satisfacer la...