Ecuaciones lineales

Ecuaciones lineales con una incógnita

Definición
Sean constantes reales con . Se llama ecuación lineal o de primer grado con una incógnita a toda ecuación de la forma
Por ejemplo, son ecuaciones lineales con una incógnita:

1)
2)
3)
Definición
Si dos ecuaciones lineales con una incógnita tienen el mismo conjunto solución decimos que son equivalentes entre síEjemplo
1. El conjunto solución de es {5}
El conjunto solución de es {5}
Como tienen el mismo conjunto solución entonces son equivalentes entre sí.

2. El conjunto solución
El conjunto solución
Como tienen el mismo conjunto solución entonces son equivalentes entre sí.
Para resolver algunas ecuaciones lineales usaremos el concepto de ecuaciones equivalentes. Para esto"transformaremos" la ecuación en otras equivalentes a la original, hasta obtener una ecuación de la forma , donde es una incógnita y es una constante real.
Algunas "transformaciones" que se pueden usar para obtener ecuaciones equivalentes entre sí
1. Permutar miembros de la ecuación
La ecuación es equivalente a la ecuación
2. Sumar el mismo número a ambos miembros de la igualdad
Laecuación es equivalente a la ecuación
3. Multiplicar ambos miembros de la igualdad por un mismo número (diferente de cero)
La ecuación es equivalente a la ecuación
4. Algunas propiedades de la adición y la multiplicación definidas en (conmutativa, asociativa, etc.)
Veamos algunos ejemplos los cuales se resuelven usando las propiedades anteriores:
Ejemplo
Resuelva cada una de lassiguientes ecuaciones:
1)

Solución

=
=
=
Por lo que el conjunto solución de es {4}
2)
Solución

=
=
=
=
=
=
Por lo que el conjunto solución de es
3)
Solución

=
=
=
=
=
=
Por lo que el conjunto solución de es {-1}
4)
Solución
=
=
=
=
=
=
=
Porlo que el conjunto solución de es
Nota
En el proceso de resolución de ecuaciones no es necesario enumerar todas las transformaciones que se realicen, pues a veces se pueden "dejar de escribir" algunos pasos.

Ejemplo
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
1)
Solución

=
=
=
=
=
Por lo que el conjunto solución es

2)

Solución=
=
=
=
=
=
Por lo que el conjunto solución es {-10}
Ejemplo
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
1)

Solución

=
=
=
=
=
=
=
=
=
Por lo que el conjunto solución es
2)
Solución

=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Por lo que el conjunto solución es {0}Ecuaciones en las cuales uno de sus miembros es un producto de factores lineales y el otro miembro es cero
Para resolver este tipo de ecuaciones haremos uso de la siguiente propiedad:
Proposición
Sean
Si
Estudiemos algunos ejemplos en los cuales se ilustran el uso de esta propiedad.
Ejemplo
Resuelva las siguientes ecuaciones:

1)
Solución

Entonces
= ó == ó =
Por lo que el conjunto solución es

2)
• Solución

= ó = ó =
= ó = ó =
= ó = ó =
Por lo que el conjunto solución es


Aplicación de las ecuaciones a la solución de situaciones planteadas en lenguaje corriente

¿Qué es un problema?

La palabra "problema" a menudo se emplea con un sentido equivocado en las clases dematemática. A menudo, determinado ejercicio es simple rutina para algunos individuos, mientras que para otros se convierte en tarea que requiere decisión y reflexión cuidadosa. Se ha dicho que: "Lo que para una persona es un problema para otra es un ejercicio y para una tercera un fracaso "
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