Ecuaciones Lineales

260

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden lineales

Cuando en la Lección 1 estudiamos algunas definiciones básicas acerca de las
ecuaciones diferenciales ¿Recuerdan cuáles eran las características esenciales que
debían estar presentes en la ecuación diferencial para clasificarla como una ecuación
diferencial lineal?
i

Dijimos que para que una ecuación diferencial fuese linealdebían estar

presentes dos características o condiciones
1- La variable dependiente y sus derivadas debían tener potencia 1.
2- Los coeficientes de la variable dependiente y de sus derivadas podían ser
constantes o estar expresados sólo en función de la variable independiente.

Muy bien. En general ¿Cómo escribimos la ecuación diferencial ordinaria de
orden “n”, lineal?
i La escribimos
ao(x) y(n) +a1(x) y(n-1) + a2(x) y(n-2) + …+ an-1(x) y' + an(x) y = b(x)

donde ao(x) z 0, ao(x), a1(x), a2(x), …,an-1(x), an(x), b(x) pueden ser constantes o
funciones que sólo dependen de "x"

Exacto. Nuestro estudio, en esta lección, se va a centrar en las ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden lineales. ¿Cómo podemos escribir, en forma
general, la ecuación diferencial ordinaria de primer ordenlineal?
i Se puede escribir ao(x) y' + a1(x) y = b(x) donde ao(x) z 0, ao(x), a1(x), b(x)
son constantes o dependen sólo de “x”

261

Observen que como ao(x) z 0, podemos multiplicar toda la ecuación por el
factor

1
¿Qué resulta?
a o (x)

i Resulta y' 

a1 (x)
y
a 0 (x)

¿De quién dependen

b( x )
a 0 (x)

a1 (x)
b( x )
y
?
a 0 (x)
a 0 (x)

i Dependen sólo de x
Correcto, por lo tanto, podríamosescribir

a 0 (x)
a1 (x)

A( x )

b( x )
a 0 (x)

B( x )

¿Cómo queda la ecuación diferencial?
i La ecuación diferencial queda y' + A(x) y = B(x)
Abran sus guías en la página 36 y leamos la definición de ecuación diferencial
de primer orden lineal que allí aparece.
ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA
DE PRIMER ORDEN LINEAL
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es lineal si puedeescribirse de la forma

y' + A(x) y = B(x)

donde A(x) y B(x) son

funciones que sólo dependen de "x" o pueden ser constantes

262

Si B(x) = 0 ¿Qué tipo de ecuación diferencial resulta?
i Resulta, y' + A(x) = 0, que es una ecuación diferencial de variable separable.
Exacto. ¿Cómo separan las variables?
§1 ·
i Multiplicando por el factor ¨¨ dx ¸¸
©y ¹
Correcto. ¿Cómo queda la ecuación diferencial?
i Laecuación diferencial queda

1
dy  A( x ) dx
y

0

¿Qué deben hacer ahora que las variables están separadas?
i Se debe integrar

³ y dy ³ A(x) dx
1

C

Ÿ

³

ln y  A ( x ) dx

C

¿Pueden despejar “y”?
i Si se puede despejar “y”. Basta con restar
lny = C o equivalentemente y

¿Qué concluyen?

³ A(x)dx

 A ( x ) dx
Ke ³

Ÿ

³ A(x)dx para luego aplicar"e"
y

 A ( x ) dx
eC e ³

263

i

Concluimosque y

 A ( x ) dx
Ke ³
es la solución general de la ecuación

diferencial ordinaria de primer orden lineal y' + A(x) y = 0

Muy bien. Abran sus guías en la página 36 y leamos la definición que allí
tenemos
ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER
ORDEN LINEAL HOMOGÉNEA
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden lineal
y' + A(x) y = B(x)
se dice que es homogénea si y solo si B(x) = 0
Eneste caso, la ecuación diferencial toma la forma
y' + A(x) y = 0
la cual se resuelve como una ecuación diferencial de variable separable.

Vamos a estudiar como obtener la solución general de una ecuación

diferencial ordinaria de primer orden lineal, no homogénea, esto es cuando B(x) z 0.

En sus guías en la página 36 tienen como se define la ecuación diferencial lineal para
este caso.
ECUACIÓNDIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN LINEAL
NO HOMOGÉNEA O COMPLETA
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden lineal
y' + A(x) y = B(x)
se dice que es no homogénea o completa si y solo si B(x)

z 0; dicha ecuación

se resuelve buscando un factor integrante que va a depender siempre de
"x".

264

Consideremos la siguiente ecuación diferencial

xy' + 2y = x5 ¿Es una

ecuación diferencial...