Ecuaciones Primer Orden

1

Ecuaciones diferenciales
Tarea 1
1. Encontrar la soluci´n general de las siguientes ecuaciones
o
−π/2 < x < π/2

(a) y + (tan x)y = x sin 2x,
sin x
(b) x2 y + 3xy =
x
y
2
(c) y − = xx

2. Encontrar la soluci´n del problema de valor inicial. Indique en que intervalo es v´lida la soluci´n.
o
a
o
(a) y + (cot x)y = 2 csc x,
(b) xy + 2y = sin x,

y(π/2) = 1

y(pi) = 1/π2

(c) (1 − x )y − xy = x(1 − x2 ),

y(0) = 2

3. Para el problema de valor inicial y − y = 2, y(0) = y0 , determine de qu´ manera el valor l´
e
ımite de y
cuando x → ∞ depende de y0 .
4.Demu´stre que si a y λ son constantes positivas, y b es cualquier n´mero real, entonces toda soluci´n
e
u
o
de la ecuaci´n
o
y + ay = be−λx
tiene la propiedad de que y → 0 conforme x → ∞.Sugerencia:Consid´rese los casos a = λ y a = λ
e
separadamente.
5. Ecuaciones de Bernoulli. En ocasiones es posible resolver una ecuaci´n no lineal al efectuar un cambio
o
de la variable dependientepara convertirla en una ecuaci´n lineal. La clase m´s importante de dichas
o
a
ecuaciones es de la forma
y + p(x)y = q(x)y n .
Estas reciben el nombre de ecuaciones de Bernoulli.
(a) Resolver laecuaci´n de Bernoulli cuando n = 0, cuando n = 1.
o
(b) Demostrar que si n = 0, 1 entonces la sustituci´n y = y 1−n reduce la ecuaci´n de Bernoulli a una
o
o
ecuaci´n lineal.
o
(c) Resolverlas siguientes ecuaciones de Bernoulli aplicando el cambio de variable mencionado anteriormente
i. x2 y + 2xy − y 3 = 0,
x>0
o
a
ii. y = ry − ky 2 , r > 0 y k > 0. Esta ecuaci´n es importante endin´mica de poblaciones.
iii. y = y − σy, > 0 y σ > 0. Esta ecuaci´n se presenta en el estudio de la estabilidad de flujos
o
de fluidos.
6. Resolver el problema de valor inicial para las siguientesecuaciones:
(a) y =

2x
,
y + x2 y

y(0) = −2

2
xy 3
,
y(0) = 1
1 + x2
(c) sin 2x dx + cos 3y dy = 0,

(b) y = √

y(π/2) = π/3

7. Demostrar que la ecuaci´n
o
dy
y − 4x
=
dx...