Ejemplo Lagrange

UTN-FRLP

Análisis Matemático II- Práctico Nº8

ANÁLISIS MATEMÁTICO II
TRABAJO PRÁCTICO Nº 8

TEMA:
Extremos de funciones de varias variables
Multiplicadores de Lagrange

CONOCIMIENTOS PREVIOS:
Cálculo de derivadas parciales
Resolución de sistemas de ecuaciones

EJERCICIOS RESUELTOS

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Dado el problema de encontrar el o los extremos relativos de una función de dos
variables, si es que existen,ya se sabe que el primer paso consiste en obtener las
primeras derivadas parciales respecto de cada una de las variables independientes
para encontrar todos los puntos críticos que tenga, es decir, todos los puntos del
dominio en los que alguna de las derivadas no exista o bien en donde ambas
derivadas se anulen.

•

Aquí es en donde debemos prestar mucha atención ya que al tratar de despejar X
o Ypodríamos cometer errores (muy frecuentes…) que nos lleven a encontrar
puntos que no satisfacen el sistema de ecuaciones u otro tipo de errores, los que nos
hacen perder información, es decir, que no encontremos la totalidad de los puntos
críticos.

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Veámoslo con un ejemplo:
Dada f(x,y) = xy2 – x3 + x2 +2y2+2 , es una función en donde losúnicos puntos
críticos que pueden aparecer son los que anulen simultáneamente las primeras
derivadas parciales:
fx (x,y) = y2 – 3x2 +2x = 0
fy (x,y) = 2xy +4y = 0
en este caso comenzaremos trabajando con la segunda ecuación porque se ve más
sencilla que la primera, entonces: 2xy +4y = 0

¡¡Cuidado!! Un error frecuente es hacer un pasaje de términos y llegar a: 2xy = -4y entonces
queda xy =-2y peropara poder despejar “x” necesito saber de antemano que “y” no es cero y
no es éste el caso.

=> 2y(x+2) = 0 => y= 0 o x = -2

Siempre conviene expresar las derivadas como
producto con la mayor cantidad de factores
que sea posible

1º Caso: Si y=0 la primer ecuación queda –3x2 +2x = 0 => x(-3x+2) = 0 => x= 0 o
x = 2/3 y así se encuentran los puntos críticos P1(0, 0) y P2(2/3, 0)
2º Caso: Si x=-2 laprimer ecuación queda y2 -3. 22 -2.2 = 0 => y2 -12-4 = 0 =>
y2 = 16 entonces y = 4 o y = -4 con lo cual se obtienen P3(-2,4) y P4(-2,-4)
En definitiva se encontraron cuatro puntos críticos distintos….
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¿Qué hubiera ocurrido de continuar con el error frecuente despejando “x”?
Se hubiera perdido información, se llegaba a x = -2 encontrando solo dospuntos
críticos: P3(-2,4) y P4(-2,-4) y la respuesta quedaba incompleta.

Ahora continúa el proceso buscando las segundas derivadas parciales para tratar de
averiguar cuáles de estos puntos corresponden a extremos relativos.

fxx (x,y) = -6x+2

fyy (x,y) = 2x +4

fxy (x,y) = 2y

entonces H(x,y) = fxxfyy – (fxy )2 = (-6x+2 ).(2x +4) – (2y)2
en P1(0, 0) H(0,0) = 8 >0 con fxx (0,0) = 2 > 0 la funciónalcanza el valor mínimo
relativo f(0,0) = 2
en P2(2/3,0) H(2/3,0) < 0 no tiene extremo, lo mismo que en P3(-2,4) y P4(-2,-4)
(verificarlo)

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Otro ejemplo:
f (x,y) = 8x3 + y3 +6xy es otra función en la que los puntos críticos, si existen, son
los que anulen simultáneamente a las primeras derivadas parciales
fx (x,y) = 24x2 + 6y = 0 => 4x2 +y = 0 (1)
fy (x,y) = 3y 2+ 6x = 0

=> y 2+ 2x = 0 (2)

de(1) 4x2 = -y => y2 = 16x4 reemplazando en (2) 16x4 +2x = 0 sacando factor
común 2x (8x3 +1) = 0 con lo cual se obtienen dos posibles valores para x:
x=0

x = -1/2

¿Cómo utilizo esta información para encontrar las ordenadas de los puntos?
Con x = 0 reemplazando en (1) o en (2) se encuentra que y = 0 => P1(0, 0) pero con
x = -1/2 al reemplazar en (2) tenemos y 2+ 2(-1/2)= 0 => y 2= 1 => y = 1 o y= -1

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¡¡ERROR!! Porque el punto (-1/2, 1) si bien satisface la segunda ecuación no satisface la
primera

¿Cómo es que se llega a cometer ese error?
Respuesta: Como los valores de x se encontraron luego de trabajar en la segunda
ecuación lo correcto hubiera sido usar esa información en la primer ecuación y no
en la segunda ecuación
Por lo...