Ejerc MATRICES Con SOLUCIONES

MAT
CTM
CCNN

F
CIENCIAS

BYG

CMC
EF

Q

Departament de CIENCIES APLICADES

MATEMÀTIQUES CCSS II

1.- (Has de hallar

MATRIUS

Elx, 20 de septiembre de 2013

2
3
4
A ; A ; A ; ..... para ver la secuencia de valores )

SOLUCIONES.
Hallamos las sucesivas potencias de la matriz dada:
A= 1 0
0 −1
Se observa una repetición de resultados en las
A 2= A · A= 1 0 · 1 0 = 1 0
0 −1 0 −1
0 1
soluciones; deforma que:
A 3= A 2 · A= 1 0 · 1 0 = 1 0
0 1 0 −1
0 −1
A 4 = A3 · A= 1 0 · 1 0 = 1 0 - Si el exponente es impar, la solución es 1 0
0 −1 0 −1
0 1
0 −1
A 5= A 4 · A= 1 0 · 1 0 = 1 0 - Por el contrario es impar, la solución es: 1 0
0 1 0 −1
0 −1
0 1

(

)
( )( ) (
( )( ) (
( )( ) (
( )( ) (

)
)
)
)

( )
( )

( )

A 2004 = 1 0
0 1
Si la solución se repitiese cada 4 potencias, habría que dividir elexponente de la potencia pedida por el
número de soluciones posibles y analizar con cual de ellas correspondería la pedida, en función del resto de
la división.
Si el resto fuese:
– 1 correspondería con la 1ª solución.
– 2 correspondería con la 2ª solución.
– 3 correspondería con la 3ª solución.
– 0 correspondería con la 4ª solución.
Al ser la potencia pedida de exponente par, la solución es:Efectuamos la multiplicación de las matrices y nos aparece la siguiente igualdad de matrices:
3+9x +2y = 5 ; a partir de la cual planteamos el siguiente sistema de ecuaciones: 3+ 9x+ 2y=5
3x− y
4
3x− y=4
10 2
2
y=3x−4=3· −4=2−4=−2
Resolvemos el sistema: 9x+ 2y=2 ; 15x=10 ; x= =
15 3
3
6x−2y=8

(

{

)()

{

Luego la solución es:

}

2
x= ; y=−2
3

Hallamos cada producto por separado, e igualamos loselementos correspondientes de cada matriz:
A · B= 0 2 · a b = 12 2
B · A= a b · 0 2 = 3b 2a
3 0 6 1
3a 3b
6 1 3 0
3 12
a11 →12=3b→b=4
a12 →2=2a→a=1
a21 →3a=3→a=1
Luego la solución es: a=1 ;b=4
a22 →3b=12→b=4

( )( ) (

)

( )( ) (

)

}

.

1º.- Despejamos de la ecuación matricial la matriz X.
X · B=I 2 + A Ahora hemos de tener en cuenta por qué lado hemos de multiplicar para que se anule lamatriz B el el primer término.
X =( I 2+ A )· B−1
2º.- Realizamos las operaciones necesarias:
a.- I 2 + A= 1 0 + 0 2 = 1 2
0 1 3 0
3 1
b.- Hallamos la matriz inversa de B
x =1 0
B · B−1=I 2→ 1 0 · a x = 1 0 → a
6 1 b y
0 1
6a +b 6x+ y
0 1

( )( )( )

( )( ) ( ) (

)( )

c.- Igualamos elementos correspondientes de ambas matrices y obtenemos los sistemas:
a=1 →6 +b=0→b=−6
{6a+b=0
}

{6x+x=0y =1}→ y =1(

por tanto, la matriz B−1= 1 0
−6 1

)

d.- Realizamos:
X =( I 2+ A )· B−1 =

2
(13 21) · (−61 01) = (−11
−3 1 )

Por tanto, la matriz pedida es: X=

()

(

2
(−11
−3 1)

1
2 −1 3
C.F= 5 · ( 2 −1 3 )= 10 −5 15
−2
−4 2 −6

)

()

1
C · F =( 2 −1 3 ) · 5 =(−9 )
−2

1º.- Despejamos la matriz pedida. X · A−1−B=C→ X · A−1=C+ B→ X · A−1 · A=(C + B)· A→ X =(C +B) · A
2º.- Realizamos las operaciones enel orden adecuado:
a.- C+ B= 1 −1 + 1 −3 = 2 −4
−1 0
2 −1
1 −1

(

b.-

)( ) ( )
(C+ B) A=(2 −4 )· ( 2 0 )=(0 4 )
1 −1 1 −1
1 1

Por tanto, la matriz pedida es: X=

( 01 41 )

Para saber la dimensión de la matriz pedida, hemos de analizar la dimensión de la matriz resultante en el
segundo miembro de la ecuación; que será 2x2 (2 filas de la 1ª por 2 columnas de la 2ª); por tanto, la
matriz pedidaha de ser de dimensión 2x2.
X= x y
a b

( )

1º.- Realizamos los productos indicados.
x y · 2 5 = 2x + y 5x +3y
1 · ( 3 4 )= 3 4
a b 1 3
2a +b 5a+ 3b
2
6 8
2º.- Igualamos los elementos de ambas matrices y planteamos los correspondientes sistemas de ecuaciones.
a11→2x+ y =3
−6x−3y=−9
−x=−5
x=5 ; 2x+ y=3
y=3−2· 5=−7
5x+ 3y=4
a12→5x+3y=4

( )( ) (

)

()

{

} {

}

{

} {

}

a21→2a+b=6
a22→5a+3b=8−6a−3b=−18
5a +3b=8

Por tanto, la matriz pedida es: X=

(105

−a=−10

−7
−14

( )

a=10 ; 2a+ b=6

b=6−2· 10=−14

)

(10 31)·( xy)=( x +3y
(−x2 1y) ·(11)=(−x+3 y)
y )
a →x +3y=3
2.- Igualamos los resultados y obtenemos el sistema:
{a → y=−x+ y } {x +3y=3
x=0 }
y=1
Por tanto, la solución pedida es
{x=0
}
1º.- Efectuamos los productos indicados:

11

21

1º.- Hallamos:

( )( )( )
( )( )( )

a.-...