Ejercicios cuadricas y conicas

Ingenier´ Aeroespacial.
ıa
Matem´ticas I. 2012-2013.
a
Departamento de Matem´tica Aplicada II.
a
Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.

Tema 1 (Resultados).- C´nicas y Cu´dricas.
o
a
Ejercicio 1.
(1) Calcula la ecuaci´n de la par´bola de eje horizontal que tiene por foco F = (−2, 3) y
o
a
pasa por el punto (−1, 3).
(2) Calcula la ecuaci´n de la elipse que pasapor el punto P = (4, 15 ) y tiene por focos los
o
4
puntos F1 = (4, 2) y F2 = (−2, 2). Determina sus elementos notables y dib´ jala.
u
(3) Calcula la ecuaci´n de la hip´rbola que tiene por v´rtices los puntos (1, 2) y (1, 6) y
o
e
e
pasa por el punto (3, 8).
..........................................................................................
(1) Puesto que se trata de una par´bolade eje horizontal, su ecuaci´n tipo es de la forma
a
o
(y −β)2 = 2p(x−α) donde (α, β) es el v´rtice de la par´bola. Puesto que el foco est´ en
e
a
a
el eje de simetr´ y = β tiene que ser β = 3 y el v´rtice de la par´bola tiene que ser
ıa
e
a
el punto dado, (−1, 3), con lo cual α = −1. Por otra parte, la directriz de la par´bola
a
tiene que ser la recta vertical L ≡ x = 0. Por tanto, lapar´bola est´ formada por los
a
a
puntos P = (x, y) que verifican que
dist (P, F ) = dist (P, L)

≡

(x + 2)2 + (y − 3)2 = |x| .
4 x+y2−6 y+13 = 0

10

Y
8

Haciendo operaciones tenemos

(y − 3)2 = −4 (x + 1) .

6

P =V

F

Eje

4
y

(x + 2)2 + (y − 3)2 = x2
⇓
4x + 4 + (y − 3)2 = 0
⇓

2

O
0

X
−2

−4

−12

−10

−8

−6

−4
x

−2

0

24

.........................................................................................
1

R-2

Tema 1 (Resultados).- C´nicas y Cu´dricas.
o
a

(x − α)2 (y − β)2
+
= 1 donde (α, β) es el centro de la
(2) La ecuaci´n-tipo de la elipse es
o
a2
b2
elipse. Puesto que el centro de una elipse es el punto medio de los focos tenemos,
4−2 2+2
,
2
2

(α, β) =

= (1, 2) .e
o
Para que el punto P = (4, 15 ) est´ en la elipse de ecuaci´n
4

(x − 1)2
(y − 2)2
+
=1
a2
b2

49
9
+ 16 = 1.
a2
b2
Por otra parte, puesto que el eje focal de la elipse es horizontal, y = 2, siendo c = 3 la
semi-distancia entre los focos, tiene que verificarse que

tiene que verificarse que

a2 − b2 = c2 = 9 =⇒ a2 = b2 + 9.
Resolviendo el sistema de ecuaciones
a2 = b2 + 9



9
9

+
=1 
2
2
a
16 b

llegamos a la ecuaci´n 16b4 − 49b2 − 49 · 9 = 0. Resolviendo esta ecuaci´n tenemos
o
o
√
49 ± 7 · 25
49 ± 175
49 + 175
224
49 ± 49 · 625
=
=
=⇒ b2 =
=
= 7.
b2 =
32
32
32
32
32
Por tanto, la elipse tiene por ecuaci´n
o
6

2

Y

2

(x − 1)
(y − 2)
+
=1.
16
7

F1

C

2

F2

O
y

Adem´s de los focos y elcentro ya citados,
a
otros elementos caracter´
ısticos son:

P

4

0

X
los ejes de simetr´ x = 1 e y = 2,
ıa,
√
los semiejes a = 4 y b = 7 y
√
los v´rtices, (1 ± 4, 2), (1, 2 ± 7),
e
√
√
(−3, 2), (5, 2), (1, 2− 7), (1, 2+ 7)).
.........................................................................................
−2

−4

−6

−6

−4

−2

0
x

2

4

6(3) Puesto que los v´rtices (y los focos) est´n en una recta vertical, la ecuaci´n-tipo ser´ de
e
a
o
a
la forma
(x − α)2 (y − β)2
−
= −1
a2
b2
donde (α, β) es el centro de la hip´rbola, es decir, el punto medio de los v´rtices (y los
e
e
focos)
1+1 2+6
= (1, 4) .
,
C = (α, β) =
2
2
Matem´ticas I.
a

Ingenier´ Aeroespacial
ıa

Tema 1 (Resultados).- C´nicas y Cu´dricas.o
a

R-3

Los v´rtices V2 = (1, 2) y V1 = (1, 6) y el punto dado P = (3, 8) tienen que verificar la
e
(x − 1)2 (y − 4)2
ecuaci´n de la hip´rbola,
o
e
−
= −1. Es decir, tiene que verificarse que
a2
b2

0
− b4 = −1 
2
a2
.

4
− 16 = −1
a2
b2
Resolviendo se obtiene b2 = 4 y a2 = 4/3. Por tanto, la ecuaci´n de la hip´rbola es
o
e
(x − 1)2
4
3

(y − 4)2
= −1.
−
4...