Ejercicios De Estadisticas

Ejercicios Resueltos de Estadística:
Tema 5: Inferencia: estimación y contrastes

1. Si X ~ N (40,10), calcular Pr (39 X 41) para n=10. ¿En qué intervalo se obtendrán el
95% de los resultados?

SOLUCIÓN:

Pr (39 X

Z=

X

41) = Pr (

40

39 40

X

10

40 41 40
10

10

) = Pr(-0.31623 X 0.31623)

N (0,1); Pr (39 X 41) = Pr (Z 0.31623) - Pr (Z -0.31623) =

10

=2 Pr (Z 0.31623)
Y por tanto, Pr (39 Z 41) = 2 0.6241 1

Pr (µ-

X

µ+ )=0.95

Pr (µ-

X

µ+ )= 2 Pr( Z

.02482

Pr (Z

10

)=

10

1 0.95
=0.975
2

)1

Z 0.975

1.96 10

6.1981

Por tanto, el intervalo es: (33.802,46.198)

2. Si el contenido en gr. de un determinado medicamento X sigue una distribución
N(7.5,0.3), calcular la probabilidad de que para unamuestra de tamaño n=5, se obtenga
medio menor que 7, Pr ( X

7).

SOLUCIÓN:
A partir de una muestra de tamaño n=5 de una población normal N( =7.5, =0.3), tenemos que:

7)

Pr

X

7 .5
0 .3

7 7 .5
0 .3

5

Pr( X

5

Pr( Z

3.7269)

Donde Z tiene una distribución normal estándar, y por tanto, Pr ( X 7) = 0.0001

3. Si la altura de un grupo de población sigue unadistribución normal N(176,12), calcular
la Pr(S 10) para una muestra de tamaño 8.

SOLUCIÓN:

Considerando una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal N( , ), por el
teorema de Fisher tenemos que:

n 1 S2
2

~

2
n1

En particular, para una muestra de tamaño n=8 de una población normal N(176,12), el
estadístico

Pr S

72
S sigue una distribución
144

10

Pr S 2100

Pr

72
S
144

Donde la variable T sigue una distribución

Pr S

10

2
7

, y por tanto

700
144
2
7

Pr T

4.8611

, es decir,

0.3232

4. Un ascensor limita el peso de sus cuatro ocupantes a 300Kg. Si el peso de un individuo
sigue una distribución N( 71,7 ), calcular la probabilidad de que el peso de 4 individuos
supere los 300Kg.

SOLUCIÓN:Teniendo en cuenta que el peso de cada individuo tiene una distribución normal N( = 71, =
7), si seleccionamos una muestra aleatoria de 4 individuos, tenemos que:
4

Pr

4

300

Xi

Pr

Xi

i1

i1

4

300
4

Pr X

75

71

X

Pr

75 71
7

7
4

Pr Z

1.1429

1 Pr Z

4

1.1429

donde Z tiene una distribución normal estándar, y por tanto,

Pr

4

Xi300

1 0.8735

0.1265

i1

5. Calcular la probabilidad de que la media
normales y n = 5.

se encuentre entre X ± 3S para poblaciones

SOLUCIÓN:
A partir del teorema de Fisher, en el muestreo sobre poblaciones normales, tenemos que los
estadísticos

T

n

X

X
S

y

S2 son

independientes,

siendo

la

distribución

del

estadístico

una tn-1(t de Studentde n -1 grados de libertad). En particular, si consideramos

una muestra aleatoria de tamaño n = 5, la probabilidad de que la media esté entre X ± 3S viene
dada por:

Pr X

3S

X

3S

Pr

3

X
S

3

Pr

35

X
S

35

Pr

35

T

5
donde T tiene una distribución t4, y por tanto:

Pr X

3S

X

3S

Pr

35

T

35

2 Pr T

6.7082

1 2 0.9987 10.9974

6. Calcular un intervalo de confianza al nivel = 0.05 para la probabilidad de p de que un
recién nacido sea niño si en una muestra de tamaño 123 se han obtenido 67 niños.

35

SOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta que la proporción de varones recién nacidos puede modelizarse por una
variable Bernoulli de parámetro p (probabilidad de que un recién nacido sea varón), el intervalo
deconfianza al nivel = 0.05 viene dado por:


p

z

1



p1 p

,p
n

2

z

1

2

67
yz
1
123


Donde n = 123. p



p1 p
n

z 0.975

1.96 , es decir,

2

0.544715 0.0880096,0.544715 0.0880096
y por tanto, el intervalo 0.0456706,0.632725 contendrá a la proporción de varones nacidos
con una probabilidad del 95%.

7. Calcular un intervalo de...