Ejercicios Derivada

Barranquilla, 18 de Abril de 2011

Universidad del Norte ´ Departamento de matematicas y estad´ ıstica Taller Preparatorio Tercer Parcial Calculo I 1. Hallar la ecuaci´n de la recta tangente a la curva en el punto dado . o a) f (x) = 3x2 + 2x − 5 en el punto (2, f (2)) . √ b) f (x) = x en el punto (4, f (4)). c) f (x) =
1 x+3 x2

en el punto (5, f (5)). en el punto (−1, f (−1)).

d ) f (x)= e

e) f (x) = sin x en el punto ( π , f ( π )), 2 2 g) x − y 2 + y − 2 = 0 en el punto (4, 2). f ) x2 + y 2 − 2x − 4y − 20 = 0 en el punto x = 4.

h) Halle los puntos sobre la curva f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 20 donde la recta tangente sea horizontal. i) Halle una ecuaci´n de la recta tangente a la curva f (x) = x4 − 6x, y perpendicular a la recta o x − 2y + 6 = 0 √ x 1 x e + x + ex √ n) y =cos(sin( x)) + sin(cos x) ˜ 1 1 + cot o) y = sec 1−x x p) y = tan(ln(x3 − x − 1)) q) y = arctan(2x ) + arcsin(ex ) a2 − x2 a2 + x2 x+1 = csc x−1 x π + cos = sin x π 1 x = arctan a a 1 1 = x e x + ln x
sin x x

2. Encuentre la derivada de las siguientes funciones . a) y =

e2x − e−2x e2x + e−2x 1 − sin x d) y = 1 + sin x e) y = arctan(ln(x)) + ln(arctan(x)) √ f) y = x+ x+ x c) y = g) y = e3xcos(4x) − e−3x sin(2x) √ h) y = arcsin( x) + arc cos(2x ) i) y = sin3 ( x+2 ) x−3 √ √ j ) y = cos( x2 + 1) − sin( x2 + 1)
3 2

b) y = ln(cos x) + ln(ln x) − ln2 (x)

r ) y = sin2 (2x − 1) + cos5 (2x + 4) s) y = ln t) y u) y v) y w) y

k ) y = x4 e(2x ) + x 2(x xex + 1 l) y = x e−x − 1 m) y = 1 − sin(5x) 1 + sin(5x) √ n) y = cos2 ( x2 + 1)
4

)

x) y = 3

√ y) y = x 1 − x2 + arcsin xz) y = e−2x − e2x 2

3. Muestre que la derivada de: y = ln(x + est´ dada por a x2 + 1)

1 y′ = √ x2 + 1

4. Utilizar el m´todo de derivaci´n impl´ e o ıcita para encontrar y ′ en cada caso a) arctan x 1 = ln(x2 + y 2 ) y 2 c) xy = y x d ) sin(xy) + 3 cos(y 2 ) = x sin(y) 1

b) x3 + x2 y 3 + y 3 = cos(x + 2y) + 1

e) ey = ln(x2 + 4y) f ) yexy = ex+y g) (x + y)2 + sin(x + y) = 2tan(x) +2 2

√ 2

e2y + e2x + ln2 x = 2arctan x 3 2 √ m) ex y + tan( y) = 5x + 2 l) n) sin(cos y) + cos(sin y) = xy + 3 n) ln(cos y) + ln(cos x) = ln(sin x) + ln(sin y) ˜ √ o) cot(ln(x2 + 1)) + 3 x + y = 3x + 2y 1 1 x+2 p) + = x+1 y+1 3 q)
sin x 3

h) xey + yex = ln(x2 + y 2 ) √ √ i) arcsin(5y ) + 1 − x2 = xy + 3x j ) arctan

1 1 1 + arctan = 2 y x x + y2

k ) sin(2y) + cos2 x = tan(xy) + 3 5.Hallar y ′ (x) utilizando derivaci´n logar´ o ıtmica a) y = (x + 1)3 (2x + 3)5 (4x + 7)2 (x + 2)2 b) y = (x + 32 )(x + 3)4 √ x−1 c) y = 3 (x + 2)2 (x + 3)3

+ cos(2y) = 1 + sin2 x

d ) y = xx +

√ 7

e) y = (cos x)sin x f ) y = (arctan x)x

6. Diga en cada caso si la funci´n satisface la ecuaci´n diferencial dada. o o a) y = x e−x ; b) y = x e−
x2 2

xy ′ + (x − 1)y = 0

; xy ′ +(x2 − 1)y = 0 1 ; xy ′ + (1 − y ln x)y = 0 c) y = 1 + x + ln(x)

7. Dada la funci´n o f (x) := x2 + 1 4ax + 3b , si , si x≤2 , x>2

hallar los valores de las constantes a y b de tal manera que f sea derivable en x = 2. 8. Diga en cada caso si la proposici´n es falsa o verdadera . o a) Si f es derivable en a entonces f es continua en a. b) Si f es continua en a entonces f es derivable en a. d )Si f es derivable en x y c es una constante entonces (cf )′ (x) = cf ′ (x). e) Si f no es derivable en a entonces f no es continua en a. f ) Si f ′ (c) = 0 entonces la recta tangente a la curva de f en el punto (c, f (c)) es paralela al eje x. g) La funci´n o x    2 , si x≤1 x>1 c) Si f y g son derivables en ]a, b[ tal que f ′ (x) = g ′ (x) para todo x ∈]a, b[ entonces f = g.

f (x) :=

esderivable en x = 1.

 x2    2

, si

2

h) Sea p un polinomio y n un entero positivo impar mayor o igual a tres. Si ϕ(x) = ϕ′ (x) = np′ (x) (p(x))
n−1 n

n

p(x) entonces

i) Toda funci´n polin´mica es derivable en cualquier punto de su dominio. o o j ) La derivada de una funci´n constante es distinta de cero. o k ) La derivada de un polinomio de grado cuatro es un polinomio...