EJERCICIOS OFICIALES MA 1003

Ejercicios para el curso MA–1003: C´alculo III
Tomados de los ex´amenes de la C´atedra∗

1

Superficies en el espacio R3

1.1. Hallar la ecuaci´on del cilindro cuya directriz es la curva de intersecci´on de las superficies
x2 + y2 = 1 y z = x y cuyas generatrices son paralelas al vector (9, 1, −15).
1.2. Obtener la ecuaci´on de un cilindro cuya directriz est´a dada por la curva
x2 + y2 + 2z2 =8,
x − y + 2z = 0,
y cuyas generatrices son paralelas a la recta (x, y, z) = (−3, 1, 5) + t(2, 1, −4), t ∈ R.
1.3. Calcular la ecuaci´on del cilindro el´ıptico que tiene por directriz la elipse
x2 y2
+ = 1,
9
4

z=0

y por generatrices rectas paralelas a la recta de intersecci´on de los planos 9x + y + 4z = 14 y
x + y + z = 3.
1.4. Encontrar la ecuaci´on del cilindro cuyas generatrices son paralelasa la recta
2x + y + z − 6 = 0,

x + y = 0,

y cuya directriz es la intersecci´on de la esfera de radio 1 centrada en el punto (1, 0, 1) con el
plano x − y = 2.
1.5. Hallar la ecuaci´on del cilindro cuya directriz es la elipse de ecuaciones param´etricas
x = cos θ ,

y = sen θ ,

z = cos θ + sen θ

y cuyas generatrices son perpendiculares al plano que contiene dicha elipse.
1.6. Calcular laecuaci´on de la superficie c´onica que tiene por v´ertice el punto (0, 2, 3) y cuya
directriz es la elipse x2 + y2 = 16, x + y + z = 0.
1.7. Calcular la ecuaci´on del cono que tiene por v´ertice el punto (−4, 2, 3) y cuya directriz es
la curva de intersecci´on de las superficies
x2 y2
+
= 1,
9 16
∗ Recopilado

3x + 2y − z = 0.

por el Prof. Marco Alfaro C. y reeditado por Joseph C. V´arilly en el IICiclo del 2009

1

Ejercicios para MA–1003: C´alculo III

2

1.8. Calcular la ecuaci´on de la superficie c´onica que tiene por v´ertice el punto (0, 2, 3) y cuya
directriz es la curva de intersecci´on del hiperboloide de una hoja x2 + y2 − 4z2 = 16 con el
plano x − y + z = 0.
1.9. Encontrar la ecuaci´on del cono cuyo v´ertice se encuentra en el centro del elipsoide
x2 y2 z2
+ + =1
9
3
4
y cuyadirectriz es la elipse
x2 y2 z2
+ + = 1,
9
3
4

x + y + z = 1.

1.10. Hallar la ecuaci´on del cono cuyo v´ertice es el centro de la superficie 2x2 + y2 + z2 = 12
y que tiene por directriz la curva de intersecci´on de esta superficie con el plano x + y + z = 3.
1.11. Encontrar la ecuaci´on del cono que cuyo v´ertice es el centro de la superficie cuadr´atica
x2 − y2 + 4x + 6y + z2 = 10 y cuya directriz esel c´ırculo x2 + y2 + z2 = 9, x + y + z = 0.
1.12. Calcular la ecuaci´on de la superficie c´onica que tiene por v´ertice el punto (0, 0, 0) y
cuya directriz es la curva alabeada
r(t) = 3 cost i + 4 sent j + tgt k
1.13.

−

π
π
.
2
2

(a) Identificar la cu´adrica x2 + 4z2 − 2x − 4y + 25 = 0 como elipsoide, hiperboloide,
paraboloide o cono.

(b) Especificar las intersecciones de esa cu´adricacon los planos y = 2, y = 7 y x = 5.
(c) Dibujar un gr´afico aproximado de esta superficie.
1.14. Encontrar la ecuaci´on de la superficie de revoluci´on que se genera al girar la recta
x − z = 1,

x−y+z = 0

alrededor del eje x = y = z.
1.15. Encontrar la ecuaci´on de la superficie de revoluci´on que se genera al girar la recta
2x − 3y + z = 0,

3x − 2y − 4z = 1

alrededor del eje
x−1 y−3 z−6
=
=.
1
2
3

Edici´on del 2009

Ejercicios para MA–1003: C´alculo III

3

1.16. Encontrar la ecuaci´on de la superficie de revoluci´on formada por la rotaci´on de la recta
2x = 3y, z = 3 alrededor del eje
x−1 y−3 z−6
=
=
.
2
5
3
1.17. Calcular la ecuaci´on de la superficie de revoluci´on que resulta al girar la recta
x + y + z = 0,

y−z = 0

alrededor del eje que es la intersecci´on de los planos x +y = 1, z = 0.
1.18. Determinar la ecuaci´on de la superficie de revoluci´on que se obtiene al rodar la recta
x − y + z = 1,

x + y + 2z = 0

alrededor del eje x + y + z = 1, x − y = 0.
1.19. La recta

x+1 y−1 z−2
=
=
4
3
2

gira alrededor del eje
x−2 y−4
=
= z + 3.
5
6
Encontrar la ecuaci´on de la superficie que engendra.
1.20. Encontrar la ecuaci´on de la superficie de revoluci´on que se...

Leer documento completo

Regístrate para leer el documento completo.