Ejercicios Resueltos Calculo III
Páginas: 12 (2898 palabras)
Publicado: 3 de julio de 2015
Ejercicios Resueltos de Cálculo III.
1.- Considere
y
.
a) Demuestre que las rectas dadas se cortan. Encuentre el punto de intersección.
Solución:
b) Encuentre una ecuación del plano que contiene a esas rectas.
Solución:
Como las rectas de cortan resulta que determinan un plano. Consideremos el punto de
intersección que pertenecerá al plano buscado. Necesitamos el vector normal al plano.
Lopodemos hallar con:
2.- Demuestre, usando el producto triple escalar, que los cuatro puntos
, son coplanarios.
Solución:
3.- Demuestre que la distancia entre planos paralelos
y
viene dada por la fórmula:
Solución:
La distancia entre ambos planos
4.- Considere el plano
y
vendrá dada por la distancia de
dado por
. Determine el valor de
y la recta
tal que el plano
y la recta
a
, donde:de ecuación
sean paralelas.
Solución:
5.- Determine un punto que equidista (es decir, que se encuentra a la misma distancia) del
plano
y el punto
.
Solución:
6.- Calcule el volumen de la región limitada por el cono
.
y el paraboloide
Solución:
7.- Determine el valor de
, si
y
.
Solución:
8.-Obtenga el trabajo realizado por la fuerza
partícula desde el punto
Solución:
al
a lo largo dela curva
, para mover una
.
9.- Calcule la integral de línea
, siendo
región rectangular cerrada, con vértices en los puntos
el contorno de la
y
.
Solución:
10.- Demuestre que:
Solución:
11.- Encuentre un vector perpendicular al plano determinado por
. Encuentre el área del triangulo
.
Solución:
y
12.- Considere los planos
ecuaciones paramétricas, si existen, para la intersección.
.Encuentre las
Solución:
13.- Sean
y
, las ecuaciones de una recta y un
plano respectivamente.
a) Encontrar
Solución:
b) Determinar la ecuación de la recta contenida en π, que pasa por
perpendicular a .
Solución:
14.- Encontrar
Solución:
sabiendo que:
y
.
, y es
15.- Dados los planos
Encuentre la ecuación
vectorial de la recta determinada por la intersección de los planos
y
Solución:16.- Dada la curva
y el punto
. Hallar la ecuación de la
recta tangente en dicho punto.
Solución:
17.- Dados los vectores
paralelepípedo con lados adyacentes
Solución:
. Encuentre el volumen del
.
18.- Si los vectores
modo que
y
forman entre si un ángulo de
grados y
. Calcule
de
sea perpendicular a .
Solución:
19.- Calcular la distancia entre los dos planos:
Solución:
Los planosson paralelos. Ahora bien, la distancia entre los dos planos paralelos será la
distancia de un punto de uno de los planos al otro plano . Elegimos entonces un punto
del plano :
Del plano
sabemos que:
20.- Calcular la distancia entre el punto
y la recta
.
Solución:
21.- Hallar la curvatura de
Solución:
en
e
.
Derivando implícitamente respecta a :
Derivando implícitamente respecto a x denuevo:
Cuando
e
:
Así, reemplazando en la fórmula:
22.- La masa de un cuerpo laminar se describe por
, donde
se
muestra en la figura:
a) Usando el cambio de variables:
, graficar el dominio del plano
Solución:
Haciendo el cambio de variable, tenemos:
Observe que la transformación
dada es la inversa de
.
b) Aplicando el teorema del cambio de variables, calcular
Solución:
23.-Encontrar el volumen del sólido limitado por:
Solución:
usando las variables
24.- Sea
la trayectoria
. Demuestre que
es independiente de
que pasa por dos puntos dados.
Solución:
25.- Use coordenadas cilíndricas para hallar el volumen de la región encima del plano
.
cilindro
y el
Solución:
26.- El área de una hoja es de
. Se desea escribir un texto, el cuál debe estar centrado
con márgenes de
aambos lados y
arriba y abajo. Determine cuáles son el largo y
el ancho que maximizan el área del texto.
Solución:
27.- Sea
. Calcule
.
Solución:
28.- Determine el volumen del sólido acotado por las curvas
.
Solución:
,
,
29.- Si
, donde
;y
tiene derivadas parciales continuas de segundo
orden, pruebe que:
Solución:
30.- Calcule el máximo de la función
con el cilindro
del plano...
1.- Considere
y
.
a) Demuestre que las rectas dadas se cortan. Encuentre el punto de intersección.
Solución:
b) Encuentre una ecuación del plano que contiene a esas rectas.
Solución:
Como las rectas de cortan resulta que determinan un plano. Consideremos el punto de
intersección que pertenecerá al plano buscado. Necesitamos el vector normal al plano.
Lopodemos hallar con:
2.- Demuestre, usando el producto triple escalar, que los cuatro puntos
, son coplanarios.
Solución:
3.- Demuestre que la distancia entre planos paralelos
y
viene dada por la fórmula:
Solución:
La distancia entre ambos planos
4.- Considere el plano
y
vendrá dada por la distancia de
dado por
. Determine el valor de
y la recta
tal que el plano
y la recta
a
, donde:de ecuación
sean paralelas.
Solución:
5.- Determine un punto que equidista (es decir, que se encuentra a la misma distancia) del
plano
y el punto
.
Solución:
6.- Calcule el volumen de la región limitada por el cono
.
y el paraboloide
Solución:
7.- Determine el valor de
, si
y
.
Solución:
8.-Obtenga el trabajo realizado por la fuerza
partícula desde el punto
Solución:
al
a lo largo dela curva
, para mover una
.
9.- Calcule la integral de línea
, siendo
región rectangular cerrada, con vértices en los puntos
el contorno de la
y
.
Solución:
10.- Demuestre que:
Solución:
11.- Encuentre un vector perpendicular al plano determinado por
. Encuentre el área del triangulo
.
Solución:
y
12.- Considere los planos
ecuaciones paramétricas, si existen, para la intersección.
.Encuentre las
Solución:
13.- Sean
y
, las ecuaciones de una recta y un
plano respectivamente.
a) Encontrar
Solución:
b) Determinar la ecuación de la recta contenida en π, que pasa por
perpendicular a .
Solución:
14.- Encontrar
Solución:
sabiendo que:
y
.
, y es
15.- Dados los planos
Encuentre la ecuación
vectorial de la recta determinada por la intersección de los planos
y
Solución:16.- Dada la curva
y el punto
. Hallar la ecuación de la
recta tangente en dicho punto.
Solución:
17.- Dados los vectores
paralelepípedo con lados adyacentes
Solución:
. Encuentre el volumen del
.
18.- Si los vectores
modo que
y
forman entre si un ángulo de
grados y
. Calcule
de
sea perpendicular a .
Solución:
19.- Calcular la distancia entre los dos planos:
Solución:
Los planosson paralelos. Ahora bien, la distancia entre los dos planos paralelos será la
distancia de un punto de uno de los planos al otro plano . Elegimos entonces un punto
del plano :
Del plano
sabemos que:
20.- Calcular la distancia entre el punto
y la recta
.
Solución:
21.- Hallar la curvatura de
Solución:
en
e
.
Derivando implícitamente respecta a :
Derivando implícitamente respecto a x denuevo:
Cuando
e
:
Así, reemplazando en la fórmula:
22.- La masa de un cuerpo laminar se describe por
, donde
se
muestra en la figura:
a) Usando el cambio de variables:
, graficar el dominio del plano
Solución:
Haciendo el cambio de variable, tenemos:
Observe que la transformación
dada es la inversa de
.
b) Aplicando el teorema del cambio de variables, calcular
Solución:
23.-Encontrar el volumen del sólido limitado por:
Solución:
usando las variables
24.- Sea
la trayectoria
. Demuestre que
es independiente de
que pasa por dos puntos dados.
Solución:
25.- Use coordenadas cilíndricas para hallar el volumen de la región encima del plano
.
cilindro
y el
Solución:
26.- El área de una hoja es de
. Se desea escribir un texto, el cuál debe estar centrado
con márgenes de
aambos lados y
arriba y abajo. Determine cuáles son el largo y
el ancho que maximizan el área del texto.
Solución:
27.- Sea
. Calcule
.
Solución:
28.- Determine el volumen del sólido acotado por las curvas
.
Solución:
,
,
29.- Si
, donde
;y
tiene derivadas parciales continuas de segundo
orden, pruebe que:
Solución:
30.- Calcule el máximo de la función
con el cilindro
del plano...
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