Ejercicios

UTN-FRLP

Análisis Matemático II

ANÁLISIS MATEMÁTICO II
TRABAJO PRÁCTICO Nº 1

TEMA: Ecuaciones Diferenciales
ƒ

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

ƒ

Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden

CONOCIMIENTOS PREVIOS:
ƒ

Métodos de derivación e integración de funciones

I) Determinar el orden y el grado de las siguientes Ecuaciones Diferenciales:
a)

y' = x – 3
d2y
dy
b)
+4
+y=0
2
dx
dx
c) (y'' ) 3 + (y' ) 4 + 2y = x

d) y''' + 5 ( y'' ) 2 + y' = sen x
e) y' + x = ( y – x y') 3
II) Expresar mediante una ecuación diferencial cada una de las siguientes situaciones
a) La velocidad en que se convierten 100 gr. de azúcar en agua en dextrosa es
proporcional a la cantidad que aún no se ha convertido. Expresar cómo una
Ecuación Diferencial la velocidad de conversióndespués de t minutos.
b) La pendiente de una curva en cada punto (x,y) es igual al doble de la suma de la
coordenadas del punto. Hallar la Ecuación Diferencial que represente esta condición.
III) Hallar la Ecuación Diferencial asociada con la solución general:
a) x 2 y 4 = C
b) y = A sen 3x + B cos 3x
c) y = sen ( x + A )
1

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d) y = A e x + B
IV) Verificar que lassiguientes familias de funciones son soluciones de las
correspondientes ecuaciones diferenciales:

a) y = 4 x + C e x

y' – y = 4 ( 1 – x )

b) y = C 1 e x + C 2 e -x

y´´- y = 0

c) y = C 1 e x + C 2 e 2x + x

y´´ - 3 y’ + 2y = 2x – 3

V) Ecuaciones diferenciales de primer orden
1) Resolver mediante el método de variables separables

dy x 2 − 1
=
dx
y2
1
c) y´ = x2 + x2y2
3
e) 2.y.y´ + y´- 4.x =3.x2 + 2

b) y´ = 3. x2y

a)

g) dy – tgx.dx – y2.tgx.dx = 0

d) 3.x.y dy + 4.y2dx = dx
f) y´ = 2. y + 1 .cos x

si y(0) = -1

si y(π) = 0

si y(0) = 3

2) Determinar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas:
a) x 2 - y 2 = c

b) y 2 = cx

c) y2 = c x3

e) x² + 2y² = c

f) x + 2y = c

d) x.y = c

g) y = c e –2x

h) 3.x² + 3.y² = c

3) Resolver las siguientes ecuaciones diferencialesexactas
a) (cosx.cosy + 2x)dx – (senx.seny + 2y)dy = 0
b) (exy + x exy)dx + (x ex + 2)dy = 0

si y(0) = -1

c)cosθdr + (eθ –r.senθ)dθ = 0
d) [2x + y2 – cos(x + y)]dx + [2xy - cos(x + y)- ey]dy = 0
4) Resolver las ecuaciones diferenciales lineales:
a)

dy
- y = e3x
dx

d) y´- 5y = −

5 3
xy
2

b) y´ + tgx. y = secx

e) y´ =

y 2 + 2xy
x2

c) x

f)

2

dy
+ 2y = 5.x3
dx

dy
+ 2y = xy -2
dxUTN-FRLP

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5) Resolver las ecuaciones diferenciales homogéneas:
a) y2 – x.y + x2.y´ = 0
c)

b)(xy + x2 + y2)dx = x2dy

x 2 - y2
dy
=
3.x.y
dx

y2 + x x 2 + y2
x.y

d) y´ =

VI) Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes:
1) Resolver las ecuaciones diferenciales:
a) y´´- 5y´+ 6y = 0

b) y´´- 5y´ = 0

c) y´´- 2y´+ 5y = 0

d) y´´+ y = 0

e) y´´+ 4y´+ 4y = 0

f) y'' - y' - 6 y = 0

2) Resolver utilizando el método de los coeficientes indeterminados:
a) y´´- y = -11x +1

b) y´´+ y´ - 2y = x2– 2x + 3

c) y´´- y´- 12y = e2x

d) y´´- y´- 12y = e4x

e) y´´+ 2y´- 3y = 7cos(3x)

f) y´´- 5y´+ 6y = x.ex

g) y´´- 4y´+ 4y = x.e2x

h) y´´+ y = senx

i) y´´+ 4y = senx - cosx

VII) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo ordenincompletas:
-1

a) 2.x.y´´- y´+ (y´) = 0

d2y
⎛ dy ⎞
b) 2.y 2 = 1 + ⎜
⎟
dx
⎝ dx ⎠

2

c) 2.y´´= 2.x.ex + x2

VIII )Resolver de la manera más conveniente las siguientes ecuaciones diferenciales
1) (x² - y) dx - x dy = 0

3
Rta: xy = x + C
3

2) xy dx + (1 + x²) dy = 0

Rta: y² (1 + x²) = C

3) y'' - 3y' + 2 y = e²

x

x

Rta: y = C1 e + C2 e

2x

x.e 2x
+
12

4) y' + y = 2 + 2 x

Rta: y = 2 x + C e-x

5)y'' + 9 y = cosx

Rta: y = C1cos3x + C2 sen 3x +

6) y'' + 2 y' + y = 0

Rta: y = C1.e-x + C2 .x .e-x
3

1 cosx
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IX ) Aplicaciones
1) Un resorte de peso despreciable está suspendido verticalmente. En su extremo libre se
ha sujetado una masa de m kilogramos. Si la masa se mueve con velocidad Vo [ m/seg ]
cuando el resorte está sin alargar, hallar la velocidad V...