El aprendizaje y las competencias

´ ´ Miscelanea Matematica 42 (2006) 51–62

SMM

Sobre dependencia lineal y wronskianos
Antonio Rivera-Figueroa
Departamento de Matem´tica Educativa a Centro de Investigaci´n y de Estudios Avanzados o IPN arivera@cinvestav.mx

1.

Introducci´n y preliminares. o

La independencia lineal de n funciones φ1 (x), . . . , φn (x), definidas y n − 1 veces derivables en un intervalo I y larelaci´n con su wronskiano o φ1 (x) (1) φ1 (x) . . . φ1
(n−1)

W (φ1 , . . . , φn )(x) =

φ2 (x) (1) φ2 (x)
(n−1)

... ...

φn (x) (1) φn (x)
(n−1)

(x) φ2

(x) . . . φn

(x)

aparece generalmente en la literatura matem´tica en el contexto de a las ecuaciones diferenciales lineales. La situaci´n es diferente cuando o las funciones φ1 (x), . . . , φn (x) no necesariamente sonsoluciones de una ecuaci´n diferencial lineal. o Sean φ1 (x), . . . , φn (x) soluciones en un intervalo I, de una ecuaci´n o diferencial lineal y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y (1) + a0 (x)y = f (x), (1) donde los coeficientes a0 (x), . . . , an−1 (x) y f (x) son funciones continuas en I. En este caso la dependencia lineal de las funciones φ1 (x), . . . , φn (x) y su wronskiano W (φ1 , . . . , φn)(x) est´n relacionados fuertemente. Quia z´ el teorema m´s conocido es el siguiente a a Teorema A. Una condici´n necesaria y suficiente para que n soluo ciones φ1 (x), . . . , φn (x) en un intervalo I de una ecuaci´n diferencial o (1), sean linealmente dependientes es W (φ1 , . . . , φn )(x) = 0 para toda x ∈ I. 51

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O en su versi´n equivalente o Teorema B. Unacondici´n necesaria y suficiente para que n soluo ciones φ1 (x), . . . , φn (x) en un intervalo I de una ecuaci´n diferencial o (1), sean linealmente independientes es W (φ1 , . . . , φn )(x) = 0 para alguna x ∈ I (v´ase por ejemplo Coddington (1962, p. 111) y Pontryagin (1962, e pp. 130 y 140)). Cabe hacer dos observaciones interesantes: 1. Si φ1 (x), φ2 (x) . . . , φn (x) son linealmentedependientes entonces necesariamente se tiene W (φ1 , . . . , φn )(x) ≡ 0, aun cuando las funciones φ1 (x), φ2 (x) . . . , φn (x) no sean soluciones de una ecuaci´n diferencial lineal (1). En efecto, si c1 , c2 , . . . , cn son constano tes no todas cero, tales que c1 φ1 (x) + c2 φ2 (x) + · · · + cn φn (x) = 0 para toda x ∈ I, entonces, mediante derivaciones sucesivas, obtenemos las siguientes n relacionesc1 φ1 (x) + c2 φ2 (x) + · · · + cn φn (x) = 0 c1 φ1 (x) + c2 φ2 (x) + · · · + cn φ(1) (x) = 0 n . . . c1 φ1
(n−1) (1) (1)

(x) + c2 φ2

(n−1)

(x) + · · · + cn φ(n−1) (x) = 0 n

v´lidas para toda x ∈ I. a Fijando x ∈ I, tenemos un sistema homog´neo de n ecuaciones e lineales, cuyo determinante es precisamente el wronskiano W (φ1 , . . . , φn )(x). Cada uno de estos sistemas tienesoluci´n no trivial, o por lo que su determinante debe ser cero, es decir W (φ1 , . . . , φn )(x) = 0 para cada x∈I.

2. La condici´n W (φ1 , φ2 , . . . , φn )(x) ≡ 0 que implica la dependencia o lineal de las soluciones φ1 (x), φ2 (x) . . . , φn (x) de la ecuaci´n difeo rencial lineal (1), puede debilitarse sustituy´ndola por la condie ci´n m´s simple de que el wronskiano se anule solamente en alg´n oa u punto y no necesariamente en todo punto de I. Es decir

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Si las soluciones φ1 , φ2 ,. . . , φn de la ecuaci´n diferencial (1) sao tisfacen W (φ1 , . . . , φn )(x) = 0 para alguna x ∈ I entonces φ1 , φ2 ,. . . , φn son linealmente dependientes. Para la prueba de esta afirmaci´n resulta esencial el teorema de o unicidad de soluciones quesatisfacen condiciones iniciales. En efecto, si en x0 se satisface W (φ1 , . . . , φn )(x0 ) = 0, entonces el sistema c1 φ1 (x0 ) + c2 φ2 (x0 ) + · · · + cn φn (x0 ) = 0
(1) c1 φ1 (x0 )

+ c2 φ2 (x0 ) + · · · + cn φ(1) (x0 ) = 0 n . . .
(n−1)

(1)

c1 φ1

(n−1)

(x0 ) + c2 φ2

(x0 ) + · · · + cn φ(n−1) (x0 ) = 0 n

tiene soluci´n no trivial. Sea c1 , c2 , . . . , cn una tal soluci´n....