EL FENÓMENO DE GIBBS

RESEÑA HISTÓRICA:
Este fenómeno apareció en un experimento del físico Michelson, quien construyó un aparato
mecánico para calcular los coeficientes de Fourier y para construir una función apartir de sus
coeficientes de Fourier. En una prueba usó 80 coeficientes de Fourier para la función f(x) = x para
–π≤ x ≤ π. La máquina respondió con una gráfica que tenía saltos inesperados en losextremos π y
– π. Al principio Michelson supuso que había algún problema con su máquina. Sin embargo. Con el
tiempo, se encontró que este comportamiento es característico de la serie de Fourier en lasdiscontinuidades de salto de la función. Éste se conoce como el fenómeno de Gibbs, debido al
matemático de Yale, Josiath Willard Gibbs, quien fue el primero que lo definió y explicó de manerasatisfactoria. El fenómeno fue advertido por el matemático inglés Wilbraham unos 60 años antes,
quien sin embargo no pudo analizarlo.
DESARROLLO:
Para ilustrar este fenómeno, vamos a considerar lossiguientes ejemplos:
Ejemplo 1:
Consideramos la función:

− π / 4 para − π < x < 0

f n ( x) = 0 para x = 0
π / 4 para 0 < x < π

La cual tiene una serie de Fourier asociada que es:

∑

∞n =1

1
sen((2n − 1) x)
2n − 1

Por cualquiera de los teoremas de convergencia se comprueba que la serie converge a f(x) para
–π ≤ x ≤ π, y que presenta una discontinuidad de salto en 0.Entonces, en la siguiente gráfica
mostramos la sexta, decimoquinta y vigésimo tercera suma parcial de la serie, y como podemos
observar, cada una de estas sumas parciales muestra un pico cerca de cero.Intuitivamente, como
la suma parcial se acerca a f(x) conforme n tiende a infinito, podemos esperar que estos picos se
achaten y se hagan pequeños conforme N crece. Pero no es así. En cambio, lospicos mantienen
la misma altura, pero se mueven más cerca del eje y conforme N crece. Las sumas parciales sí
tienen como límite a la función, pero no exactamente como se esperaba.

* Gráfica de...