El Metodo De Los Coeficientes Indeterminados
Nos proponemos resolver la ecuación
any(n) + an-1y(n-1) + . . . + a1y’ + a0y = f(x) (3.12)
donde ai; i = 0, 1, 2, . . ., n son constantes. El primer paso es escribir la ecuación en notación de operadores.
1) (anD(n) + an-1D(n-1) + . . . + a1D’ + a0D)y = f(x)
P(D)y = f(x)
2) Resolver la ecuación homogénea asociada
(anD(n) + an-1D(n-1) +. . . + a1D’ + a0D)y = 0 (3.13)
P(D)y = 0
3) Encontrar un operador P1(D) que anule a f(x).
4) Multiplicar ambos miembros de (3.12) por P1(D). De tal manera que obtenemos la nueva ecuación P1(D)P2(D)y = 0 (3.14)
5) Resolver esta nueva ecuación e identificar las soluciones de la ecuación (3.13). el resto de la solución general de (3.14) es yp (la soluciónparticular buscada). A estas alturas yp aparece acompañada de una serie constantes. El objetivo siguiente es determinar esas constantes (coeficientes), para ello procedemos de la siguiente manera:
6) Asumimos yp como solución y la “metemos” en (3.12) e igualamos los coeficientes correspondientes de cada lado de la ecuación. Esto genera un sistema de k ecuaciones algebraicas con k incógnitas (queson los coeficientes buscados).
7) Resolver el sistema lineal por cualquier método conocido (utilizar preferentemente la Regla de CRAMER).
8) Escribir la solución general de (3.12) como y = yh(x) + yp(x).
Ejemplo 1: Resuelva y” – 5y’ + 6y = 10e2x (3.12.0)
1) (D2 – 5D + 6)y = 10e2x
2) (D2 – 5D + 6)y = (D – 3)(D – 2)y = 0
yh = c1e3x + c2e2x.
3) P1(D) = (D – 2) anula af(x) = 10e2x.
4) (D – 3)(D – 2)(D – 2)y = (D – 2)10e2x = 0
(D – 3)(D – 2)2y = 0
5) y = c1e3x + c2e2x + c3xe2x
Sabemos que yh = c1e3x + c2e2x. Así que yp = c3xe2x.
6) yp’ = c3(e2x + 2xe2x)
yp” = c3(2e2x + 2e2x + 4xe2x) = c3(4e2x + 4xe2x) = 4c3e2x + 4c3xe2x
4c3e2x + 4 c3 xe2x - 5c3e2x - 10 c3 xe2x + 6 c3 xe2x = 10 e2x
- c3e2x + 0 c3 xe2x = 10 c3e2x
7)
yp = -10xe2x.
8) y = c1e3x +c2e2x –10xe2x
Ejemplo 2: Resolver y” + 4y = Cos 3x + Sen2x
1) (D2 + 4)y = Cos3x + Sen2x
2) (D2 + 4)y = 0
yh = c1Cos2x + c2Sen2x
3) P1(D) = (D2 + 9)(D2 + 4) anula a f(x) = Cos3x + Sen2x
4) (D2 + 4)(D2 + 9)(D2 + 4)y = (D2 + 4)(D2 + 9)(Cos3x + Sen2x) = 0
(D2 + 4)2(D2 + 9)y = 0.
5) y = c1Cos2x + c2Sen2x + c3xCos2x + c4xSen2x + c5Cos3x + c6Sen3x
yp = c3xCos2x + c4xSen2x + c5Cos3x + c6Sen3x6) yp’ = c3xCos2x - 2c3xSen2x + c4xSen2x + 2c4xCos2x - 3c5Sen3x + 3c6Cos3x
yp” = - 2c3Sen2x - 2c3Sen2x - 4c3xCos2x + 2c4Cos2x + 2c4Cos2x - 4c4xSen2x – 9c5Cos3x
- 9c6Sen3x
yp” = - 4c3Sen2x + 4c4Cos2x - 4c3xCos2x - 4c4xSen2x – 9c5Cos3x - 9c6Sen3x
- 4c3Sen2x + 4c4Cos2x - 4c3xCos2x - 4c4xSen2x – 9c5Cos3x - 9c6Sen3x + 4c3xCos2x + 4c4xSen2x + 4c5Cos3x + 4c6Sen3x = Cos3x +Sen2x
- 4c3Sen2x + 4c4Cos2x – 5c5Cos3x - 5c6Sen3x = Cos3x + Sen2x
7)
8) .
Ejercicio:
1) Encontrar la ecuación diferencial de la cual es solución general
y = c1e2x + c2xe2x + c3x2e2x + c3Sen3x + c4Cos3x + c5xSen3x + c6xCos3x.
2) Resolver el P.V.I.:
y” + 4y = Cos3x + Sen2x
y(0) = 1
y’(0) = 0
VARIACIÓN DE PARÁMETROS
ECUACIÓN DE 2do ORDEN:
Sea y” + P(x)y’ + Q(x)y =f(x) (3.7)
Sean y1 = y1(x); y2 = y2(x) soluciones l.i. de la ecuación homogénea
y” + P(x)y’ + Q(x)y = 0 (3.8)
La solución general para esta última ecuación es, ya sabemos; yh = c1y1(x) + c2y2(x).
Si procedemos como ene l caso de ecuaciones lineales de Primer orden, considerando a las constantes c1 y c2 como Parámetros Variables (funciones en la variablex). Es posible encontrar c1 = u1(x) y c2 = u2(x) de tal manera que
yp = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x) (3.9)
Sea una solución particular de la ecuación no homogénea y en consecuencia
y = c1y1(x) + c2y2(x) + yp
donde c1, c2 son constantes, y es la solución general de la ecuación no homogénea.
Como hemos asumido que yp es una solución particular de la ecuación (3.4),...
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