elipse

Cónicas
E. circunferencia
Elipse
Ecuación elipse
Hipérbola
Ecuación hipérbola
Hipérbola equilátera
Parábola
Ecuación parábola
Cónica y recta

Ecuación de la elipse


Ecuación reducida de la elipse
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

F'(-c, 0) y F(c, 0)
Cualquier punto dela elipse cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:



Ejemplo
Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.



Semieje mayor

Semidistancia focal

Semieje menor

Ecuación reducida

Excentricidad



Ecuación reducida de eje vertical de la elipse


Si eleje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:

Las coordenadas de los focos son:
F'(0, -c) y F(0, c)
Ejemplo
Dada la ecuación reducida de la elipse , hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.








Ecuación de la elipse
Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c,y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:




Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.


Ejemplos
Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).




Dada la elipse de ecuación , hallar su centro, semiejes, vértices y focos.Ecuación de eje vertical de la elipse
Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la elipse será:



Ejercicios
Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.
1 








2 








3 4 









Halla la ecuación de la elipse conociendo:
1 



2 



3 



4 



Escribe la ecuación reducida de la elipse que pasa por el punto (2, 1) y cuyo eje menor mide 4.




La distancia focal de una elipse es 4. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6, respectivamente. Calcular la ecuación reducida de dicha elipse.





Determina laecuación reducida de un elipse cuya distancia focal es  y el área del rectángulo construidos sobre los ejes 80 u2.






Determina la ecuación reducida de una elipse sabiendo que uno de los vértices dista 8 de un foco y 18 del otro.





Halla la ecuación reducida de una elipse sabiendo que pasa por el punto (0, 4) y su excentricidad es 3/5.





 

 
 

Principio del formulario
 Final del formulario

Sitio
Inicio
Vectores
Ecuación de la recta
Elementos triángulo
Cónicas
Vectores en el espacio
La recta y el plano
Posiciones relativas
Problemas métricos
 
Tema
Cónicas
E. circunferencia
Elipse
Ecuación elipse
Hipérbola
Ecuación hipérbola
Hipérbola equilátera
Parábola
Ecuación parábola
Cónica y recta
 
Enlaces
6. SECCIONES CÓNICAS

6.2 LA ELIPSEDefiniciones:
i. Sean F y F’ dos puntos de un plano (F. Se define la ELIPSE de focos F y F’ como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a los focos es constante e igual a 2a (a > 0).

ii. Las rectas: La que pasa por los focos F y F’ y la recta mediatriz del segmento se llaman EJES DE SIMETRÍA DE LA ELIPSE.

iii. El punto de intersección O de losdos ejes de simetría, se llama CENTRO DE LA ELIPSE. Los puntos A’, A, B y B’ se llaman VERTICES DE LA ELIPSE.

Si el segmento es mayor que el segmento , ambos segmentos se llaman respectivamente EJE MAYOR y EJE MENOR de la elipse.




fig. 6.2.1.
Observaciones:

i. De hecho, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una elipse. Por simplicidad, solo se...