ELIPSE

Ecuación general de la elipse con centro en el origen
Elipse: Se define como el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias no dirigidas a dos puntos
fijo llamado foco es constante.
Partes de la elipse:
C(0,0)
Eje mayor
Eje menor
Lado Recto (LR)
F y F´
V y V'
a, b, c
Para determinar partes de la elipse:
Eje mayor = 2a
Eje menor = 2b

Distancia focal
Para determinar laecuación de la elipse con centro
en el origen se tiene esta
formula: x2/a2 + y2/b2 = 1

c2 = a2-b2
LR = 2b2/a
Excentricidad e = c/a
Ejemplo de aplicación:
Hallar la ecuación ordinaria de la elipse con centro en el origen, eje mayor igual a 10 y el eje menor igual a 6.
Hacer la gráfica, considera que el eje focal esta sobre el eje x.
Eje mayor 2a = 10
a = 10/2
a=5
Eje menor 2b = 6
b =6/2
b=3

Ecuación: X2/25 + y2/9 = 1
c2

a2-b2

=
c2 = 25 - 9
c2 = 16
c = raiz de 16
c=4

LR = 2b2/a
LR = 18/5
LR = 3.6
e = c/a
e = 4/5
e = 0.8

Vértices: v(5,0) v'(-5,0)
Centro (0,0)
Focos: F(4,0) F'(-4,0)
Vértices menores: B(0,3)
B'(0,-3)

Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano, tales que la suma de sus distancias a
dos puntos fijos en elplano es constante. Los puntos fijos 1 F y 2 F se llaman focos. Gráficamente esto
es:
Con relación a la figura, el segmento de recta V2V1 que pasa por los focos es el eje mayor. La mediatriz
B2B1 del eje mayor es el eje menor. Cada extremo del eje mayor 1 V y 2 V se llama vértice. El punto
medio del segmento F2F1 se llama centro de la elipse. La distancia del centro a cada vértice se llamasemieje mayor y la distancia del centro a cada extremo del eje menor se conoce como semieje menor.
Para dibujar una elipse lo que se necesita es una cuerda, dos alfileres y un lápiz. Se colocan los dos
alfileres en una hoja de papel (éstos son los focos de la elipse). Se toma un pedazo de cuerda mayor
que la distancia entre los dos alfileres (ésta representa la constante de la definición) y sesujetan sus
extremos a cada alfiler. Finalmente, se pone la punta del lápiz bajo la cuerda y se mueve hacia un
mismo lado. La figura resultante es (por definición) una elipse. Se obtienen diferentes formas de
elipses según la ubicación de los alfileres y la longitud de la cuerda que los une. ECUACIÓN ORDINARIA DE
LA ELIPSE HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN
A partir de la definición de la elipsey de la expresión para calcular la distancia entre dos puntos, se
puede deducir la ecuación de una elipse en un sistema de coordenadas rectangulares.
Si los vértices se ubican en las coordenadas ( 0) 1 V a, y ( 0) 2 V - a, , los focos están en ( 0) 1 F c, y
( 0) 2 F - c, , el eje mayor de la elipse es coincidente al eje x , y si su centro se ubica en el origen, tiene la

siguiente forma:
Siel punto P está en cualquiera de los vértices, la suma de distancias 1 2 d + d da como resultado
a - c + a + c , por lo que la suma constante se establece en 2a, a > 0 .
El punto P(x, y) pertenecerá a la elipse si y sólo si: d1 +d2=2a

LONGITUD DE LOS LADOS RECTOS DE UNA ELIPSE HORIZONTAL
Para cualquier elipse, los segmentos perpendiculares al eje mayor que pasan por sus focos de la elipsecon extremos sobre la curva se denominan lados rectos (LR).

Gráficamente es:

EXCENTRICIDAD DE UNA ELIPSE
Para cualquier elipse, a la relación que existe entre c y a , se le conoce como excentricidad de una
elipse y se denota con la letra e :
La excentricidad indica el grado de achatamiento que posea. Nótese como siempre se cumple que

0 < e < 1.

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSEVERTICAL CON CENTRO EN EL ORIGEN

Elipse con centro fuera del origen (partes)
Si el centro de la elipse se encuentra fuera del origen del plano y su eje focal es paralelo al eje x, se obtiene la
siguiente ecuación:
2
2
2 2
(x – h) /a + (y – k) /b = 1
Los elementos de la elipse son:
Centro: (h,k)
Vértices: V(h+a,k), V'(h-a,k)
Focos: F(h+c,k), F'(h-c,k)
Vértices del eje menor: B(h,k+b)...