Espacios Metricos (Notas De Topologia)

Espacios M´tricos e
El concepto de (norma) nos da una noci´n de distancia, el tener una noci´n de distancia en o o R o m´s generalmente en Rn , es lo que nos permite hablar de limite o de convergencia. a Consideremos la noci´n com´n de distancia entre dos puntos en R3 . o u Si x = (x1 , x2 , x3 ) ¯ y = (y1 , y2 , y3 ) ¯ x−y = ¯ ¯ (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3 )2

Esta distancia ladenominamos m´trica euclidiana y la generalizamos en Rn en la siguiente e definici´n. o
Definici´n: Sean x = (x1 , . . . , xn ) y y = (y1 , . . . , yn ) elementos cualesquiera de Rn definimos la o ¯ ¯

distancia euclidiana entre ellos como d(¯, y ) = x − y = x ¯ ¯ ¯ (x1 − y1 )2 + . . . + (xn − yn )2

La funci´n d : Rn × Rn → R se denomina distancia o m´trica euclidiana. o e
Proposici´n: Paracualequiera vectores x, y , z Rn se tiene: o ¯ ¯ ¯

i. d(¯, y ) ≥ 0 x ¯ ii. d(¯, y ) = d(¯, x) x ¯ y ¯ iii. d(¯, y ) ≤ d(¯, z ) + d(¯, y ) x ¯ x ¯ z ¯ iv. d(¯, y ) = 0 x ¯
Demostraci´n : o

⇒

x=y ¯ ¯

1. Como d(x, y) = x − y ≥ 0 entonces d(¯, y ) ≥ 0 tambien si d(x, y) = 0 ¯ ¯ x ¯ x−y =0 ¯ ¯ ⇒ x=y ¯ ¯

⇒

2. d(¯, y ) = x − y = x − y = y − x = d(¯, x) x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y ¯ 1

3. d(¯, y ) =x − y = x − z + z − y ≤ x − z + z − y = d(¯, z ) + d(¯, y ) x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x ¯ z ¯   0 a=b M´trica discreta.- Demostrar que la metrica definida por d(a, b) = e satisface los  1 a=b axiomas de m´trica e
Demostraci´n : o

1. Sean a, b Rn entonces d(a, b) = 1 ´ d(a, b) = 0 ∴ d(a, b) ≥ 0 o 2. Sean a, b Rn Si a = ¯ ¯ b d(b, a) Ahora bien si a = b entonces d(a, b) = 0 = d(b, a)
∗

d(¯,¯ = 1 y si ¯ = a a b) b ¯

d(b, a) = 1 ∴ d(a, b) = 1 =

* Si a = b entonces b = a por lo tanto d(b, a) = 0 3. Sean a, ¯ c Rn ¯ b, ¯ a=¯=c ¯ b ¯

d(¯, ¯ = 1, d(¯ c) = 1 y a b) b, ¯ d(¯, ¯ = 1 a b)

∴ d(a, c) = 1 ≤ 1 + 1 = d(a, b) + d(b, c) M´trica C[a, b].- Sea C[a, b] el conjunto de las funciones reales contunias en el intervalo cerrado e

[a, b]. Sean f, g C[a, b] definimos d(f, g) = m´x{|f (x) − g(x)|} a
x [a,b]

demostrar que d es una m´trica. e
Demostraci´n : o

1. Como |f (x) − g(x)| ≥ 0 para todo x [a, b] entonces m´x{|f (x) − g(x)|} ≥ 0 a por lo tanto d(f, g) ≥ 0 2. d(f, g) = 0 ⇒ ⇒ ⇒ m´x {|f (x) − g(x)|} = 0 a
x [a,b]

|f (x) − g(x)| = 0 f (x) = g(x) ∀ x [a, b] 2

3. d(f, g) = m´x {|f (x) − g(x)|} = m´x {|g(x) − g(x)|} = d(g, f ) a a
x [a,b] ∗ x [a,b]

* |f(x) − g(x)| = |g(x) − f (x)| 4. d(f, g) = m´x {|f (x) − g(x)|} a
x [a,b]

∀x

m´x {|f (x) − g(x)|} = m´x {|f (x) − h(x) + h(x) − g(x)|} a a
x [a,b] x [a,b]

≤ m´x {|f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|} a
x [a,b]

≤ m´x {|f (x) − h(x)|} + m´x {|h(x) − g(x)|} a a
x [a,b] x [a,b]

∴ d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g)
∞

Probar que en el espacio de sucesiones {an } de n´meros reales tales que u
∞1

|an | < ∞.

La aplicaci´n d(xn , yn ) = o
1

|xn − yn | es una distancia.

Prueba :
∞

1. Como |xn − yn | ≥ 0 ∀ n N entonces
1

|xn − yn | ≥ 0

por lo tanto d(xn , yn ) ≥ 0 2. d(xn , yn ) = 0
∞

⇒
1

|xn − yn | = 0 |xn − yn | = 0 xn − yn = 0 xn = yn
∞

⇒ ⇒ ⇒

∀n N ∀n N

3. d(xn , yn ) =
1

|xn − zn |
∞ ∞

|xn − zn | ≤
1 1 ∞

|xn − yn | + |yn − zn |
∞

=1

|xn − yn | +
1

|yn − zn |

= d(xn , yn ) + d(yn , zn ) 3

Ejercicio: Sea d una m´trica de un conjunto no vacio X. Demostrar que la funci´n e definida e o

por e(a, b) = m´ ın(1, d(a, b)) donde a, b X tambien es una m´trica de X. e
Soluci´n : o

1. Sean a, b X. Puesto que d es una m´trica d(a, b) ≥ 0 entonces e(a, b) = 1 e o ´ e(a, b) = d(a, b) ≥ 0, en cualquier caso e(a, b) ≥ 02. Si a = b entonces e(a, b) = m´ ın(1, d(a, b)) = m´ ın(1, 0) = 0 3. Sea a, b X. Por definici´n e(a, b) = d(a, b) ´ e(a, b) = 1 o o Supongamos e(a, b) = d(a, b)) entonces d(a, b) < 1. Puesto que d(a, b) es una m´trica d(a, b) = d(b, a) < 1. En consecuencia e(b, a) = e d(a, b) = e(a, b), por otro lado sup´ngase que e(a, b) = 1, entonces d(a, b) ≥ 1 o ∴ d(b, a) ≥ 1 por lo tanto e(a, b) = 1 =...