Introduccion A Espacios Métricos

1.
1.1.

Espacios M´tricos e
Definici´n y Ejemplos o

Definici´n 1.1. Un espacio m´trico es un par (X, d), donde X es un conjunto (la reserva o e de puntos), y d una funci´n (la distancia, o m´trica) d : X × X → R+ que cumple las o e siguientes propiedades: 1. d(x, y) ≥ 0, y d(x, y) = 0 ⇔ x = y (no negatividad ). 2. d(x, y) = d(y, x) (simetr´ ıa). 3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X(desigualdad del tri´ngulo). a Por lo regular, y siempre que no se preste a confusi´n, se escribir´ s´ o a ımplemente X. Ejemplo 1.1. Sean X arbitrario, y d(x, y) = 0 si x = y. 1 si x = y.

A esta m´trica se le conoce como m´trica discreta. e e Ejemplo 1.2. X = R, y d(x, y) = |x − y|. Ejemplo 1.3. X = Rn , x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ).
n 1/2

d(x, y) =
k=1

(xk − yk )2Ejemplo 1.4. X = Rn , x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ).
n

d1 (x, y) =
k=1

|xk − yk |

Ejemplo 1.5. X = Rn , x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ). d∞ (x, y) = m´x |xk − yk | a
1≤k≤n

Ejemplo 1.6. Vamos a considerar un ejemplo m´s elaborado. Sea (X, d), con X el conjunto a de todas las funciones continuas sobre el intervalo [a, b], X = {f : [a, b] → R | f escontinua}, y: d(f, g) = sup |f (x) − g(x)|
x∈[a,b]

A esta m´trica se le conoce como la m´trica del supremo. Cuando veamos convergencia, se e e ver´ que la convergencia puntual en este espacio coincide con la convergencia uniforme de a funciones.

1.1 Definici´n y Ejemplos o

´ 1 ESPACIOS METRICOS d(x, y) es 1 + d(x, y)

Ejemplo 1.7. (X, d) un espacio m´trico arbitrario. La funci´n ρ(x, y) =e o una m´trica. e

Ejemplo 1.8. Una familia infinita de distancias para un mismo espacio. Sean X = Rn , p ≥ 1, y
n

dp (x, y) =
k=1

|xk − yk |p

1/p

El inter´s en esta familia, consiste en que d1 coincide con la del ejemplo 1.4, d2 es la m´trica e e euclideana (ejemplo 1.3). Adem´s, es un ejercicio interesante demostrar que a
n p→∞

l´ ım

|xk − yk |p
k=1

1/p

est´ biendefinido, y coincide con la m´trica del ejemplo 1.5. a e Hasta ahora, no hemos demostrado que las funciones distancia enunciadas en los ejemplos cumplan, en efecto, con la definici´n 1.1. Vamos, pues, a demostrar la desigualdad del o tri´ngulo para las distancias dp de este ejemplo. Fijemos p > 1. Mostraremos que: a
n

|xk − yk |p
k=1

1/p

n

≤
k=1

|xk − zk |p

1/p

n

+
k=1

|zk− yk |p

1/p

(1.1)

La desigualdad (1.1) es muy importante, y recibe el nombre de desigualdad de Minkowsky. Probaremos primero la desigualdad de H¨lder (1.2), en donde p > 1, q > 1, y adem´s o a 1 + 1 = 1: p q
n n

|xk yk | ≤
k=1 k=1

|xk |p

1/p

n

|yk |q
k=1

1/q

(1.2)

Para probar (1.2), primero se observa que la desigualdad es homog´nea, es decir, si se e n ,entonces tambi´n se cumple para λx, µy, con λ, µ ∈ R. Por tanto, cumple para x, y ∈ R e y sin p´rdida de generalidad, supongamos que e
n n

|xk | =
k=1 k=1 n

p

|yk |q = 1.

(1.3)

Mostraremos que en este caso,

|xk yk | ≤ 1.
k=1

(1.4)

Para la demostraci´n de (1.4), vamos a utilizar la siguiente desigualdad: Si a, b ≥ 0, p, q > 1 o 1 con p + 1 = 1, entonces q ap bq ab ≤ + (1.5) pq 2

1.1 Definici´n y Ejemplos o

´ 1 ESPACIOS METRICOS

Sean ahora a = |xk |, b = |yk |, y consideremos la suma sobre k:
n n n

|xk yk | ≤
k=1

1 p

n

|xk |p +
k=1

1 q

n

q |yk |q =
k=1

|xk |p + p
k=1

|yk |q =1

k=1

pq

Con esto, queda demostrada (1.4), y por tanto, (1.2). Ahora bien, si a, b ≥ 0, es inmediata la identidad: (a + b)p = a(a + b)p−1 + b(a +b)p−1 Sean ak = xk − zk , bk = zk − yk . Al sumar sobre k, y aplicar (1.2) (y dado que (p − 1)q = p):
n

|ak | + |bk |
k=1 n

p

n

=
k=1

|ak | |ak | + |bk |
n

p−1

n

+
k=1

|bk | |ak | + |bk |
p 1/q

p−1

≤
k=1 n

|ak |p |ak | + |bk |

1/p

+
k=1 p 1/p

|bk |p
n

1/p

n

|ak | + |bk |
k=1 1/p n

⇐⇒ (1.6)

≤
k=1

|ak |p

+
k=1

|bk |p...