espacios vectoriales

Espacios Vectoriales Eucl´
ıdeos

Antonia Gonz´lez G´mez
a
o
Dep. de Matem´ticas Aplicadas a los Recursos Naturales
a
ETSI de Montes
UPM

Espacios Vectoriales Eucl´
ıdeos

Dep. Mat. Aplicada
E.T.S.I. de Montes

´
Indice
1. Espacios Eucl´
ıdeos: producto escalar, normas, distancia y ´ngulos.
a

2

2. Ortogonalidad. Bases ortonormales. Gram-Schmidt.

6

3. Proyeccionesortogonales.

11

4. Aplicaciones Lineales adjuntas y autoadjuntas entre Espacios Eucl´
ıdeos. 17
5. Aplicaciones ortogonales

21

6. Aplicaciones ortogonales en R2

25

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ıdeos

1.

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Espacios Eucl´
ıdeos: producto escalar, normas, distancia y ´ngulos
a

Salvo que se diga lo contrario, a lolargo de este cap´
ıtulo trabajaremos con espacios
vectoriales reales de dimensi´n finita.
o
Definicion 1.1. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo R, de dimensi´n n. Un producto
o
escalar sobre V es una forma bilineal sim´trica definida positiva.
e
< ·, · > : V × V −→
R
u, v −→
< u, v >
Corolario 1.1. Sea < ·, · >: V × V −→ R un producto escalar. Entonces verifica las
siguientespropiedades:
< u, v >=< v, u >

∀ u, v ∈ V (simetr´a)
ı

< u, αv + βw >= α < u, v > +β < u, w >

∀ u, v, w ∈ V y ∀ α, β ∈ R (bilinealidad)

< u, u > > 0 ∀ u = 0 ∈ V (def. positiva)
Ejemplo 1.1. La forma bilineal
< ·, · >

: R2 × R2 −→
R
< (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) >−→ x1 y1 + x2 y2

verifica que es sim´trica
e
< (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) >= x1 y1 + x2 y2 =< (y1 , y2 ), (x1 , x2 ) >
ydefinida positiva
< (x1 , x2 ), (x1 , x2 ) >= x2 + x2 > 0 ∀ (x1 , x2 ) = (0, 0)
1
2
por tanto, es un producto escalar sobre R2 .
Ejemplo 1.2. La forma bilineal
< ·, · > : C([a,b])×C([a,b])−→
< f, g >−→

b
a

R
f (x) g(x) dx

verifica que es sim´trica
e
b

< f, g >=

f (x) g(x) dx =< g, f >
a

y definida positiva

b

< f, f >=

f 2 (x) dx > 0 ∀ f = 0

a

por tanto, es unproducto escalar sobre C([a, b]).
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Ejercicio 1.1. Sean a, b, c ∈ R con a > 0 y ac > b2 . Se define:
(x, y), (u, v) = x y ·

a b
u
·
b c
v

Probar que ·, · es un producto escalar en R2 .
Ejercicio 1.2. En el espacio vectorial M2 (R) de las matrices 2×2, se considera la siguiente
aplicaci´n:
o
<·, · >: M2 (R) × M2 (R) →
R
< A, B >
→ < A, B >= traza(At · B)
Comprobar que la aplicaci´n anterior define un producto escalar en M2 (R)
o
Definicion 1.2. Un espacio vectorial eucl´
ıdeo sobre R es un par (V, < ·, · >) donde V es un
R−espacio vectorial y < ·, · >: V × V −→ R es un producto escalar.
Ejemplo 1.3. El par (R3 , < ·, · > donde
matriz en la base can´nica es
o

2
−1
A=
0< ·, · >: R3 −→ R una forma bilineal cuya

−1 0
2 −1
−1 2

es un espacio eucl´
ıdeo.
Ejercicio 1.3. Consideremos el espacio eucl´
ıdeo (R3 , ) donde denota el producto
escalar usual de R3 . Sea T : R3 −→ R3 la aplicaci´n lineal que tiene por matriz asociada en
o
la base can´nica Bc la matriz:
o


1 a 0
a 2 c 
a, b, c ∈ R
b 0 3
Sea F : R3 × R3 −→ R definida por F (u, v)=< u, T (v) > Determina los valores de a, b, c
para que F sea un producto escalar en R3
Definicion 1.3. Sea (V, < ·, · >) un espacio vectorial eucl´
ıdeo, se define la norma de v ∈ V
como
√
v = + < v, v >.
Ejemplo 1.4. Consideramos en R el producto escalar < x, y >= xy. En este espacio
eucl´
ıdeo tenemos que
√
√
x = < x, x > = x2 = |x|.
Ejemplo 1.5. Sea (R2 , < ·, · >) con < (x1 , x2 ),(y1 , y2 ) >= x1 y1 + x2 y2 . Entonces
x =

√

< x, x > =

x2 + x2
1
2

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Ejemplo 1.6. Sea (C ([a,b]), < ·, · >) con < f, g >=
f =

√

b
a

f (x) g(x) dx. Entonces

b

f 2 (x) dx

< x, x > =
a

Proposici´n 1.1. Propiedades de la norma
o
1.- v ≥ 0 ∀ v ∈ V
2.- v = 0

⇐⇒...