estructuras algebraicas

Estructuras Algebraicas
o
o
1. Establezca en cada ejemplo si la operaci´n ∗ es una ley de composici´n interna en el
conjunto indicado.
a) a ∗ b = a − b en Z+ .
b) a ∗ b = a − b en R.
c) a ∗ b = ab en Z.
d) a ∗ b =

a
b

en Q.

2. En el conjunto de Q de n´meros racionales se definen las siguientes leyes de composiu
ci´n interna. Establezca en cada caso si ellas son: asociativas,conmutativas, admiten
o
la existencia de neutro. En los casos donde se cumple asociatividad, determine que
elementos tienen inverso.
a) a ∗ b = 3a + 2b.
b) a ∗ b = 2b2 .
c) a ∗ b = a2 + b2 .
d ) a ∗ b = ab + 1.
e) a ∗ b = b.
f ) a ∗ b = ab − a − b + 2.
g) a ∗ b =

ab
.
23
2

h) a ∗ b = a − ab + b2 .
i) a ∗ b = a + 1.
b
3. Considere el conjunto I = {1, −1, i, −i} con lassiguientes operaciones:
. 1
1 1
-1 -1
i
i
-i -i

-1 i
-1 i
1 -i
-i -1
i 1

-i
-i
i
1
-1

Pruebe que I con la operaci´n definida es un grupo abeliano.
o

4. En Z se define la ley de composici´n interna ∗ como a ∗ b = a + b − 1. Demuestre que
o
Z con esta operaci´n es un grupo abeliano.
o
5. Sea S = R − {1} y considere ∗ una operaci´n definida en S por a ∗ b = a + b + ab
o
a)Demuestre que (S, ∗) es un grupo abeliano.
b) Encuentre la soluci´n de la ecuaci´n 2 ∗ x ∗ 3 = 7.
o
o
o
6. Considere las leyes de composici´n interna ⊕ y ⊗ en Z definidas por
a⊕b=a+b+1
a ⊗ b = a + b + ab
Verifique que (Z, ⊕, ⊗) es una anillo conmutativo con unidad.
√
7. Sea G = {a + b 2 ∈ R : a, b ∈ Z}. Considere las operaciones suma y multiplicaci´n en
o
G heredadas de R. Pruebe que (G, +,.) es un anillo conmutativo con unidad.
8. Determine las propiedades de las operaciones binarias ◦ y ⊗ en el conjunto A =
{a, b, c, d} definidas por las siguientes tablas:
◦ a b
a a b
b b c
c c d
d d a
⊗
a
b
c
d

c d
c d
d a
a b
b c

a b c
d a c
a c b
b d a
c b d

d
b
d
c
a

9. Sea G = {a ∈ R : |a| < 1}. Definimos en G la ley de composici´n interna a ∗ b =
o
∀a, b ∈G.
a) Verifique que ∗ es una ley de composici´n interna.
o
b) Encuentre el neutro de ∗.
o
10. Considere el conjunto A = Q × Q − {(0, 0)} dotado de la operaci´n definida por
(a, b) ∗ (c, d) = (ac + 2bd, ad + bc)
Demuestre que (A, ∗) es un grupo abeliano.
11. Se define en Z la operaci´n ⊕ de la siguiente forma: a ⊕ b = a + b + 5.
o
a) Pruebe que ⊕ tiene elemento neutro.

a+b
,
1+abb) Determine, si es que existe, el elemento inverso de −1.
c) Resuelva la ecuaci´n (2 ⊕ x) ⊕ (−7 ⊕ x) = 2.
o
12. Se define en Z la operaci´n a ∗ b = a + b − 2. Resuelva la ecuaci´n x ∗ x = 16.
o
o
13. Sea p un n´mero natural fijo. Considere en Z la relaci´n dada por a ≡ b (mod p),
u
o
(leemos a congruente con b m´dulo p), si b − a = pn para alg´n n ∈ Z.
o
u
a) Verifique que la relaci´n esde equivalencia y que por lo tanto genera una partici´n
o
o
en Z.
b) Escribimos [a]p para representar la clase de equivalencia de a, es decir
[a]p = {b ∈ Z : ∃n ∈ Z tal que b − a = pn} .
El conjunto formado por las clases de equivalencia lo anotamos como Zp . Verifique
que
Zp = {[0]p , [1]p , [2]p , . . . , [p − 1]p }
c) Definimos en Zp la operaci´n + como
o
[a]p + [b]p = [a + b]pVerifique que esta definici´n es correcta, es decir no depende del representante de
o
la clase de equivalencia elegido. M´s precisamente, demuestre que si [a]p = [c]p y
a
[b]p = [d]p entonces [a + b]p = [c + d]p .
d ) Cuando no haya lugar a confusi´n, escribiremos indistintamente [a]p , [a] o simo
plemente a si es claro que la aritm´tica a usar es la de Zp . Con esta notaci´n la
e
o
tabla de sumade Z4 es la siguiente:
+4
0
1
2
3

0
0
1
2
3

1
1
2
3
0

2
2
3
0
1

3
3
0
1
2

Complete las tablas para la suma de Z2 , Z3 , Z5 y Z6 .
e) Pruebe que (Zp , +) es un grupo abeliano.
o
o
14. Definimos en Zp la operaci´n . dada por la siguiente f´rmula:
[a]p .[b]p = [ab]p
a) Verifique que . est´ bien definida.
a
b) La tabla de m´ltiplicaci´n para Z4 es la...