Estructuras algebraicas

cIngenier´ Matem´tica ıa a
FACULTAD DE CIENCIAS ´ F´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 08-1 o

´ SEMANA 10: ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Y NUMEROS COMPLEJOS

Departamento de Ingenier´ Matem´tica - Universidad de Chile ıa a

Importante: Visita regularmente http://www.dim.uchile.cl/~algebra. Ah´ encontrar´s las gu´ de ejercicios ı a ıas y problemas, adem´s deinformaci´n a o acerca de cu´l ser´ la din´mica del curso. a a a

10.4.

Grupos

Un grupo es un caso particular de una estructura algebraica. Veremos que esta noci´n o rescata ampliamente las propiedades de estructuras tales como ( , +), ( , +) y ( , +). Dedicaremos una secci´n especial a grupos, debido a que las particularidades que poseen o nos permiten conocer muy bien sus propiedades, lascuales son bastantes.

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Usa estas notas al margen para consultar de manera m´s r´pida el maa a terial. Haz tambi´n tus propias e anotaciones.

Definici´n 10.4 (Grupo). Sea (G, ∗) una estructura algebraica. Diremos que es un grupo o si ∗ es asociativa. (G, ∗) posee neutro e ∈ G. Todo elemento x ∈ G posee inverso x−1 ∈ G. Adem´s, si ∗ es conmutativa, llamaremos a (G, ∗) grupo abeliano. aA modo de ejemplo, notemos que ( , ·) no es un grupo pues 0 no posee inverso. Sin embargo, ( \ {0}, ·) s´ es un grupo. ı Si (G, ∗) es un grupo, entonces cumple las siguientes propiedades (las cuales ya vimos):

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1. El inverso de cada elemento es unico ´ 2. (∀x ∈ G) (x−1 )−1 = x 3. (∀x, y ∈ G) (x ∗ y)−1 = y −1 ∗ x−1 4. Todo elemento x ∈ G es cancelable. Si (G, ∗) es un grupo, lassiguientes propiedades se agregan a las mencionadas: Propiedades 12. Dado (G, ∗) grupo, entonces: 1. Para todo a, b ∈ G, las ecuaciones a ∗ x1 = b x2 ∗ a = b tienen soluci´n unica. Ellas son x1 = a−1 ∗ b y x2 = b ∗ a−1 o ´ 2. El unico elemento idempotente de G es su neutro. ´

´ Demostracion. 1. Consideremos s´lo el caso de la primera ecuaci´n. Como G es grupo, o o a posee neutro a−1 . Luegotendremos: a−1 ∗ (a ∗ x1 ) = a−1 ∗ b ⇔ (a−1 ∗ a) ∗ x1 = a−1 ∗ b ⇔ e ∗ x1 = a ⇔ x1 = a
−1 −1

Por asociativida.

∗ b Por definici´n de inverso. o

∗ b Por definici´n de neutro. o

Y esta ultima expresi´n es unica, pues a−1 es unico. ´ o ´ ´ 134

2. Si a es un elemento idempotente, satisface: a ∗ a = a.

Pero esto es precisamente una ecuaci´n como la anterior (con b = a y a nuestra oinc´gnita). Luego sabemos que la soluci´n es unica y es: o o ´ a = a−1 ∗ a = e. 10.4.1. Subgrupos

Definici´n 10.5 (Subgrupo). Sea (G, ∗) un grupo, y sea H ⊆ G, H = ∅. Diremos que H o es subgrupo de G si (H, ∗) tambi´n es grupo. e

Si consideramos el grupo ( , +), entonces un posible subgrupo es ( , +). Tambi´n tenemos e a ({−1, 1}, ·) como subgrupo de ( \ {0}, ·).

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Todo grupo (G, ∗)tiene dos subgrupos a los cuales llamaremos triviales: (G, ∗) y donde e es el neutro de (G, ∗). ({e}, ∗)

Propiedades 13. Sea (G, ∗) un grupo, y (H, ∗) un subgrupo de ´l. Un par de propiedades e b´sicas que salen de ver los elementos de H como elementos de G: a 1. Si e ∈ G es el neutro de G y eH ∈ H es el neutro de H, entonces e = eH .

˜ 2. Adem´s, sea x ∈ H. Si x−1 ∈ G es el inverso de x en (G,∗) y x ∈ H es el inverso de a x en (H, ∗), entonces x−1 = x. ˜ Estas propiedades quedan propuestas como ejercicios. 10.4.2. Subgrupos: Caracterizaci´n o

En principio, si uno quisiera demostrar que un conjunto H ⊆ G, H = ∅, forma un subgrupo de (G, ∗), tendr´ que demostrar que (H, ∗) cumple todas las propiedades de la definici´n ıa o de grupo, adem´s de mostrar (el cual es el punto de partida) quea (∀x, y ∈ H) x ∗ y ∈ H

A esta propiedad se le conoce como cerradura, y es lo que nos permite decir que ∗ es una ley de composici´n interna tambi´n en H. o e La siguiente es una forma compacta para determinar si (H, ∗) es subgrupo de (G, ∗).

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Teorema 10.1. Sea H = ∅. Entonces (H, ∗) es subgrupo de (G, ∗) ⇐⇒ (∀x,...