Estructuras algebraicas

Álgebra II (LSI y PI)-F.C.E. y T.-UNSE

UNIDAD Nº 1
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS: GRUPO - ANILLO - CUERPO SUBESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

1.- GRUPO Definición 1 Sea G ≠ ∅ y sea * una operación binaria en G. El par (G, ∗) es un grupo si y sólo si: A1) * es una ley de composición interna en G. Es decir, * es una función con dominio en el producto cartesiano G x G y toma valores en G, en símbolos

∗:G × G → G (a, b) a a ∗ b
A2) * es asociativa en G. En símbolos

∀ a, b, c ∈ G ; (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c )
A3) Existe un elemento neutro e ∈ G respecto de la ley * . En símbolos

∃ e ∈ G : ∀ a ∈G ; a ∗ e = e ∗ a = a
A4) Para cada elemento a ∈ G existe un elemento inverso a’ ∈ G respecto a la ley *. En símbolos

∀ a ∈ G ; ∃ a ' ∈ G : a ∗ a' = a ' ∗ a = e

NOTAS 1. La estructuraalgebraica de grupo ha sido definida en forma axiomática. 2. El axioma A1) indica que el conjunto G es “cerrado” con respecto a la ley *. También suele decirse que el conjunto G es “estable” respecto a la operación *. 3. En los axiomas A3) y A4) observe detenidamente la posición de los cuantificadores existencial y universal, y obtenga conclusiones. 4. Diremos simplemente “sea G un grupo” cuando la ley *esté sobreentendida. 5. Cuando en un grupo G la ley de composición interna sea la suma, diremos que G es un grupo aditivo. En esta situación el elemento neutro aditivo se llama “elemento nulo” o simplemente “cero” y suele representarse con 0; y dado a ∈ G al inverso aditivo de a, denominado “opuesto de a”, se denota con –a.
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6. Cuando en un grupo G laley de composición interna sea la multiplicación, diremos que G es un grupo multiplicativo. En esta situación el elemento neutro aditivo se le llama “unidad” y suele representarse con 1; y dado a ∈ G al inverso multiplicativo de a, denominado -1 “recíproco de a”, se denota con a .

Ejemplos de grupos: Grupos aditivos (Z, +) El conjunto de los números enteros con la suma de números enteros. (Q,+) El conjunto de los números racionales con la suma de números racionales. (R, +) El conjunto de los números reales con la suma de números reales. (C, +) El conjunto de los números complejos con la suma de números complejos. (R , +) El conjunto de los pares ordenados de números reales (o vectores del plano cartesiano) con la suma de pares ordenados definida por (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+y2) Aquí, el cero es el par (0, 0) y el opuesto de (x1, y1) es -(x1, y1) = (-x1, -y1). (R , +) El conjunto de las n-uplas ordenadas de números reales con la suma de n-uplas (con n ∈ N) definida por (a1, a2, …, an) + (b1, b2, …, bn) = (a1+ b1, a2+ b2, … , an+ bn) Donde, el cero es la n-upla (0, 0, … , 0) y el opuesto de (a1, a2, …, an) es - (a1, a2, …, an) = (-a1, -a2, …, -an) (R x , +) El conjuntode las matrices reales de tipo mxn con la suma de matrices definidas por ∀ i = 1, 2, …, m ∧ ∀ j = 1, 2, …, n [aij] + [bij] = [aij + bij] Donde, el cero es la matriz nula de tipo mxn (todos los elementos de esta matriz son iguales a 0). Y la matriz opuesta de [aij] es -[aij] = [-aij]
m n n 2

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(Z3, +). Donde Z3 ={⎯0,⎯1,⎯2 } es el conjunto de lasclases residuales módulo 3 y la suma está definida por la siguiente tabla

+ ⎯0 ⎯1 ⎯2

⎯0 ⎯0 ⎯1 ⎯2

⎯1 ⎯1 ⎯2 ⎯0

⎯2 ⎯2 ⎯0 ⎯1

Grupos multiplicativos (Q – {0}, .) El conjunto de los números racionales no nulos con la multiplicación de números racionales no nulos. (R – {0}, .) El conjunto de los números reales no nulos con la multiplicación de números reales no nulos. (C – {0}, .) Elconjunto de los números complejos no nulos con la multiplicación de números complejos no nulos. (Z3 – {⎯0 }, .) Donde Z3 – {⎯0 } = {⎯1,⎯2 } es el conjunto de las clases residuales módulo 3 y la multiplicación está definida por la siguiente tabla

. ⎯1 ⎯2

⎯1 ⎯1 ⎯2

⎯2 ⎯2 ⎯1

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No son grupos: El conjunto N de los números naturales con la suma de...