Examen De Calculo Integral

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 7 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas.

1. Calcular el valor medio de la función f cuya gráfica se muestra abajo

10 puntos
2. Calcular

a)

∫

4 e 3 x ln 4 dx

2x

b ) lim e − x ln x 3
x →∞

(

)
15 puntos

1EE10-1
3. Efectuar

a)

∫e cos x dx

x

b)

∫

x

( x − 2)

2

dx +3

c)

∫

x2 − 1 dx 3 x +x
20 puntos

4. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor

del eje de las ordenadas, la región limitada por las curvas de ecuación y = ln x , y = 0 y x = 2 . 15 puntos

5. Determinar el dominio de la función f y representarlo gráficamente, si

f

(x, y ) =ln ( 2 ) − ln (1 − 2 y + x )
10 puntos

6. Por efecto de la temperatura un cono se contrae pasando la longitud de su altura de 10cm a 9.7 cm y la de su radio de 5cm a 4.8cm. Calcular, de manera aproximada por medio de diferenciales, el incremento que sufre el volumen del cono. 15 puntos

7. Calcular la derivada direccional de la función
1   1 ,2 ,  2  y en la dirección del vector

f(x

, y

)

=

1 x y

en el punto

 1 v =   2

 ,1 

15 puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS CÁLCULO INTEGRAL PRIMER EXAMEN EXTRAORDINARIO
Sinodales: M.I. Mayverena Jurado Pineda Ing. Sergio Carlos Crail Corzas
23 de Septiembre de 2009

TIPO “ B ”

Semestre 2010-1INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 7 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas.

1. Calcular el valor medio de la función f cuya gráfica se muestra abajo

10 puntos 2. Calcular

a)

∫

4 e 3 x ln 4 dx

2x

b ) lim e − x ln x 3
x →∞

(

)
15 puntos

1EE10-1 3. Efectuar

a)

∫

e cos xdxx

b)

∫

x

( x − 2)

2

dx +3

c)

∫

x2 − 1 dx 3 x +x
20 puntos

4. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje de las ordenadas, la región limitada por las curvas de ecuación y = ln x , y = 0 y x = 2 . 15 puntos

5. Determinar el dominio de la función f

y representarlo gráficamente, si

f

(x, y ) =

ln ( 2 ) −ln (1 − 2 y + x )
10 puntos

6. Por efecto de la temperatura un cono se contrae pasando la longitud de su altura
de 10cm a 9.7cm y la de su radio de 5cm a 4.8cm. Calcular, de manera aproximada por medio de diferenciales, el incremento que sufre el volumen del cono.

15 puntos

7. Calcular la derivada direccional de la función
1   1 ,2 ,  2  y en la dirección del vector

f

(x, y

)

=

1 x y

en el punto

 1 v =   2

 ,1 

15 puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL

Solución del Primer Examen Extraordinario Semestre 2010 – 1

1.

El valor medio se calcula por medio de la expresión

f

(c ) =

∫

b

f
a

(x ) dx

de

b − a

la interpretación geométrica se tiene que apartir de la figura

∫

4

f
−2

(x ) dx

= − 2

3 7 4 + = = 2 2 2 2 = 2 1 = 6 3 R e s p u e s ta 1 f (c ) = 3
10 puntos

∴ f (c ) =

4 − (−2 )

2.

a) Por las propiedades de la función escribir como

ln x y e x , la integral se puede

I= I=

∫ ∫

4

2x

⋅e

ln 4

3x

dx =

∫

4

2x

⋅ 4 dx
5x

3x

5x 1 4 4 dx = 4 ( 5dx ) = +C 5 5 ln 4 5x

∫

Respuesta 4 I= +C 5 ln 4
5x

S1EE10-1

ln x3 ∞ b) lim x = , se puede aplicar la regla de L’Hôpital x →∞ e ∞
3x 2 ln x3 x3 = lim 3 = 0 lim = lim x x →∞ e x x →∞ e x →∞ x e x Re sultado ln x3 =0 lim x →∞ e x
15 puntos

3.

a) Por partes

u = ex

dv = cos x dx

du = e x dx v = sen x I = e x sen x − e x sen x dx
I1

∫

I1 a su vez por partes
u = ex du = e x dx dv = sen x dx v =...