EXPERIMENTOS MULTIFACTORIALES EN BLOQUES Y CUADRADOS LATINOS
Páginas: 15 (3657 palabras)
Publicado: 17 de septiembre de 2015
Tema 2
Análisis de la varianza multifactorial
Estudia la influencia de dos o más factores (variables
explicativas) sobre la media de una variable aleatoria
(variable respuesta)
•
Definición de la variable a explicar
•
Definición de los distintos factores que pueden influir
en la respuesta y, en cada uno de ellos, sus distintos
niveles o grupos.
Estudiaremos tres casos:
1. Dos factores sininteracción (diseño por bloques)
2. Dos factores con posible interacción entre ellos
3. Tres factores (Cuadrados latinos)
Análisis de la varianza con dos factores
Diseño por bloques
Modelo:
Yij = m + ai + bj + Uij
i =1, 2,…,I j = 1,2,...,J
Yij es la respuesta de la variable en el i-ésimo nivel del factor 1 (a) y en el jésimo nivel del factor 2 (b).
mij = E(Yij ) = m + ai + bj es el valor mediode Yij
ai representa el efecto que sobre la media global m tiene del nivel i del factor 1
bj representa el efecto que sobre la media global m tiene del nivel j del factor 2
Uij es la variación aleatoria de las Yij (igual en distribución para todas ellas)
Supondremos que Uij sigue una distribución N(0,s) lo que implica que Yij
sigue una distribución N(mij ,s) y que no hay interacción entre losfactores.
Muestra aleatoria (una observación por casilla)
Factor 1 (a)
Factor 2 (b)
Niveles
1
2
...
...
J
Medias
por filas
1
Y11
Y12
...
...
Y1J
Y1.
2
Y21
Y22
...
...
Y2J
Y2.
...
...
...
...
...
...
...
I
YI1
YI2
...
...
YIJ
YI.
Medias por
columnas
Y.1
Y.2
...
...
Y.J
Y..
Datos (Ejemplo 1)
Se desea estudiar la eficiencia (en cuanto a menor emisión de
CO2)de 5 máquinas desaladoras. Se piensa que la cantidad de
sal en el agua puede influir en dicha eficiencia.
Factor 1: distintas máquinas (I=5)
Factor 2: nivel de sal (J=3)
Análisis estadístico:
Estimación de los parámetros desconocidos
Parámetros desconocidos del modelo (I + J) :
m , a1 , ... , aI , b1 ,..., bJ , s
Estimaciones de los parámetros:
Análisis estadístico: ANOVA
Se cumple que:SCE(a) + SCE(b) + SCR
= SCT
SCE(a) Suma de cuadrados explicada (variabilidad debida a que hay
distintos niveles del factor 1)
SCE(b) Suma de cuadrados explicada (variabilidad debida a que hay
distintos niveles del factor 2)
SCR Suma de cuadrados residual (variabilidad no debida a los
factores)
SCT Suma de cuadrados total (variabilidad total de todos los datos)
Análisis estadístico: ANOVA(Contrastes del efecto de cada factor)
El factor 1
no influye
Estadístico de contraste
El factor 2
no influye
Estadístico de contraste
Análisis estadístico: ANOVA
(Tabla)
Con los datos del ejemplo 1:
En cuanto a las emisiones de CO2 las 5 máquinas no son iguales (p-valor 0.0026)
y también influye la cantidad de sal (p-valor 0.0001).
¿Y si no hubiéramos tenido en cuenta el factor “cantidad de sal” ? En el ejemplo R2 x 100 = 93.3 = 36.2 (máquinas) + 57.1 (sal)
Análisis posteriores al rechazo de H0
H0 : No hay diferencia entre los niveles i, j del factor 1
Con nivel de significación a rechazamos H0 si el cero no está
en el siguiente intervalo de confianza:
H0 : No hay diferencia entre los niveles i, j del factor 2
Con nivel de significación a rechazamos H0 si el cero no
está en elsiguiente intervalo de confianza:
Error
típico
Comparaciones múltiples:
Pruebas Post hoc: Test de Bonferroni
Al igual que en el análisis de la varianza con un factor podemos hacer
pruebas simultáneas entre todas las posibles parejas de niveles en
cada factor. Por ejemplo utilizando el Test de Bonferroni.
En el ejemplo 1:
Análisis de la varianza con dos factores
e interacción
Modelo:
Yij = m + ai +bj + (ab)ij + Uij i =1, 2,…,I j = 1,2,...,J
Yij representa la respuesta de la variable en el i-ésimo nivel del factor 1 (a) y
en el j-ésimo nivel del factor 2 (b).
mij = E(Yij ) = m + ai + bj + (ab)ij es el valor medio de Yij
ai representa el efecto que sobre la media global m tiene del nivel i del factor 1
bj representa el efecto que sobre la media global m tiene del nivel j del factor 2...
Análisis de la varianza multifactorial
Estudia la influencia de dos o más factores (variables
explicativas) sobre la media de una variable aleatoria
(variable respuesta)
•
Definición de la variable a explicar
•
Definición de los distintos factores que pueden influir
en la respuesta y, en cada uno de ellos, sus distintos
niveles o grupos.
Estudiaremos tres casos:
1. Dos factores sininteracción (diseño por bloques)
2. Dos factores con posible interacción entre ellos
3. Tres factores (Cuadrados latinos)
Análisis de la varianza con dos factores
Diseño por bloques
Modelo:
Yij = m + ai + bj + Uij
i =1, 2,…,I j = 1,2,...,J
Yij es la respuesta de la variable en el i-ésimo nivel del factor 1 (a) y en el jésimo nivel del factor 2 (b).
mij = E(Yij ) = m + ai + bj es el valor mediode Yij
ai representa el efecto que sobre la media global m tiene del nivel i del factor 1
bj representa el efecto que sobre la media global m tiene del nivel j del factor 2
Uij es la variación aleatoria de las Yij (igual en distribución para todas ellas)
Supondremos que Uij sigue una distribución N(0,s) lo que implica que Yij
sigue una distribución N(mij ,s) y que no hay interacción entre losfactores.
Muestra aleatoria (una observación por casilla)
Factor 1 (a)
Factor 2 (b)
Niveles
1
2
...
...
J
Medias
por filas
1
Y11
Y12
...
...
Y1J
Y1.
2
Y21
Y22
...
...
Y2J
Y2.
...
...
...
...
...
...
...
I
YI1
YI2
...
...
YIJ
YI.
Medias por
columnas
Y.1
Y.2
...
...
Y.J
Y..
Datos (Ejemplo 1)
Se desea estudiar la eficiencia (en cuanto a menor emisión de
CO2)de 5 máquinas desaladoras. Se piensa que la cantidad de
sal en el agua puede influir en dicha eficiencia.
Factor 1: distintas máquinas (I=5)
Factor 2: nivel de sal (J=3)
Análisis estadístico:
Estimación de los parámetros desconocidos
Parámetros desconocidos del modelo (I + J) :
m , a1 , ... , aI , b1 ,..., bJ , s
Estimaciones de los parámetros:
Análisis estadístico: ANOVA
Se cumple que:SCE(a) + SCE(b) + SCR
= SCT
SCE(a) Suma de cuadrados explicada (variabilidad debida a que hay
distintos niveles del factor 1)
SCE(b) Suma de cuadrados explicada (variabilidad debida a que hay
distintos niveles del factor 2)
SCR Suma de cuadrados residual (variabilidad no debida a los
factores)
SCT Suma de cuadrados total (variabilidad total de todos los datos)
Análisis estadístico: ANOVA(Contrastes del efecto de cada factor)
El factor 1
no influye
Estadístico de contraste
El factor 2
no influye
Estadístico de contraste
Análisis estadístico: ANOVA
(Tabla)
Con los datos del ejemplo 1:
En cuanto a las emisiones de CO2 las 5 máquinas no son iguales (p-valor 0.0026)
y también influye la cantidad de sal (p-valor 0.0001).
¿Y si no hubiéramos tenido en cuenta el factor “cantidad de sal” ? En el ejemplo R2 x 100 = 93.3 = 36.2 (máquinas) + 57.1 (sal)
Análisis posteriores al rechazo de H0
H0 : No hay diferencia entre los niveles i, j del factor 1
Con nivel de significación a rechazamos H0 si el cero no está
en el siguiente intervalo de confianza:
H0 : No hay diferencia entre los niveles i, j del factor 2
Con nivel de significación a rechazamos H0 si el cero no
está en elsiguiente intervalo de confianza:
Error
típico
Comparaciones múltiples:
Pruebas Post hoc: Test de Bonferroni
Al igual que en el análisis de la varianza con un factor podemos hacer
pruebas simultáneas entre todas las posibles parejas de niveles en
cada factor. Por ejemplo utilizando el Test de Bonferroni.
En el ejemplo 1:
Análisis de la varianza con dos factores
e interacción
Modelo:
Yij = m + ai +bj + (ab)ij + Uij i =1, 2,…,I j = 1,2,...,J
Yij representa la respuesta de la variable en el i-ésimo nivel del factor 1 (a) y
en el j-ésimo nivel del factor 2 (b).
mij = E(Yij ) = m + ai + bj + (ab)ij es el valor medio de Yij
ai representa el efecto que sobre la media global m tiene del nivel i del factor 1
bj representa el efecto que sobre la media global m tiene del nivel j del factor 2...
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