Factorial
Páginas: 5 (1090 palabras)
Publicado: 18 de marzo de 2015
Definición
El factorial de un entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define en principio como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n. Por ejemplo,
La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental, el factorialde n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (elementos sin repetición). Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el s. XII por los estudiosos hindúes. La notación actual n! fue usada por primera vez por Christian Kramp en 1803.
Propiedades
El factorial de un número entero positivo n se define como:
n!=n(n−1)(n−2)….2*1
Lógicamente 1!=1. Lo que ya no parece tanlógico es que 0!=1, pero se adopta como convenio. De manera que para el cálculo de factoriales es importante recordar que 1!=1 y 0!=1.
Es fácil observar, utilizando una calculadora, que el factorial de un número crece de forma casi exponencial, es decir que crece muy deprisa.
10!=3628800
15!=1307674368000
20!=2432902008176640000
Por lo que puede ser difícil el evitar cálculos engorrosos cuando seestán haciendo operaciones con factoriales.
Una propiedad de los factoriales, que se puede utilizar para simplificar fracciones, es:
n!=n*(n−1)!
Ejemplos
3!: 3!=3*2*1=6
8!: 8!=8*7*6*5*4*3*2*1=40320
4!: 4!=4*3*2*1=24
7!=7*6!
11!=11*10*9!
x!=x*(x−1)*(x−2)*(x−3)!
Aplicaciones
1.3 Notación Factorial.
Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n, al producto de todos losnaturales desde 1 hasta n.
Que de un modo resumido, se puede expresar como:
Se define 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad.
Por ejemplo, 5! = 5·4·3·2·1 = 120
Por definición el factorial de 0 es 1: 0!=1
1.4 Permutaciones.
La permutación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos dondehay solo u grupo de objetos. Como ilustración analizaremos el siguiente problema: Tres componentes electrónicos - un transistor, un capacitor, y un diodo - serán ensamblados en una tablilla de una televisión. Los componentes pueden ser ensamblados en cualquier orden. ¿De cuantas diferentes maneras pueden ser ensamblados los tres componentes?
Las diferentes maneras de ensamblar los componentesson llamadas permutaciones, y son las siguientes:
T D C D T C C D T
T C D D C T C T D
Permutación: Todos los arreglos de r objetos seleccionados de n objetos posibles
La fórmula empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es:
n P r = n!_____
(n – r )!
Donde:
nPr es el número de permutaciones posibles
n es el número total de objetos
r es el número deobjetos utilizados en un mismo momento
n P r = ___n! = 3! = 3 x 2 = 6
(n – r )! ( 3 – 3 )! 1
Ejemplo:
Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tres espacios disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles?
n P r = n! = 8! = 8! = 336
(n – r )! ( 8 – 3 )! 5!
En el análisis anterior los arreglos no presentan repeticiones, es decir, no hay dos espacios disponibles con el mismo tipo de computadora.
1.5 Combinaciones.
En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estosresultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán...
El factorial de un entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define en principio como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n. Por ejemplo,
La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental, el factorialde n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (elementos sin repetición). Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el s. XII por los estudiosos hindúes. La notación actual n! fue usada por primera vez por Christian Kramp en 1803.
Propiedades
El factorial de un número entero positivo n se define como:
n!=n(n−1)(n−2)….2*1
Lógicamente 1!=1. Lo que ya no parece tanlógico es que 0!=1, pero se adopta como convenio. De manera que para el cálculo de factoriales es importante recordar que 1!=1 y 0!=1.
Es fácil observar, utilizando una calculadora, que el factorial de un número crece de forma casi exponencial, es decir que crece muy deprisa.
10!=3628800
15!=1307674368000
20!=2432902008176640000
Por lo que puede ser difícil el evitar cálculos engorrosos cuando seestán haciendo operaciones con factoriales.
Una propiedad de los factoriales, que se puede utilizar para simplificar fracciones, es:
n!=n*(n−1)!
Ejemplos
3!: 3!=3*2*1=6
8!: 8!=8*7*6*5*4*3*2*1=40320
4!: 4!=4*3*2*1=24
7!=7*6!
11!=11*10*9!
x!=x*(x−1)*(x−2)*(x−3)!
Aplicaciones
1.3 Notación Factorial.
Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n, al producto de todos losnaturales desde 1 hasta n.
Que de un modo resumido, se puede expresar como:
Se define 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad.
Por ejemplo, 5! = 5·4·3·2·1 = 120
Por definición el factorial de 0 es 1: 0!=1
1.4 Permutaciones.
La permutación es aplicada para encontrar el número posible de arreglos dondehay solo u grupo de objetos. Como ilustración analizaremos el siguiente problema: Tres componentes electrónicos - un transistor, un capacitor, y un diodo - serán ensamblados en una tablilla de una televisión. Los componentes pueden ser ensamblados en cualquier orden. ¿De cuantas diferentes maneras pueden ser ensamblados los tres componentes?
Las diferentes maneras de ensamblar los componentesson llamadas permutaciones, y son las siguientes:
T D C D T C C D T
T C D D C T C T D
Permutación: Todos los arreglos de r objetos seleccionados de n objetos posibles
La fórmula empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es:
n P r = n!_____
(n – r )!
Donde:
nPr es el número de permutaciones posibles
n es el número total de objetos
r es el número deobjetos utilizados en un mismo momento
n P r = ___n! = 3! = 3 x 2 = 6
(n – r )! ( 3 – 3 )! 1
Ejemplo:
Suponga que hay ocho tipos de computadora pero solo tres espacios disponibles para exhibirlas en la tienda de computadoras. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios disponibles?
n P r = n! = 8! = 8! = 336
(n – r )! ( 8 – 3 )! 5!
En el análisis anterior los arreglos no presentan repeticiones, es decir, no hay dos espacios disponibles con el mismo tipo de computadora.
1.5 Combinaciones.
En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estosresultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán...
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