Factorización

Factorización:

Factorizar significa descomponer en dos o mas componentes.
Por ejemplo :
Factorizar los siguientes números
15= 3x 5
27=3 x 9
99 = 9 x 11
6 = 3 x 2 y así
En álgebra se emplearan técnicas que nos ayuden a factorizar expresiones.
Como por ejemplo :
Diferencia de Cuadrados:
Se conocen como diferencia de cuadrados, expresiones de este tipo X² - Y² = (X -Y )(X + Y)
Y esa esla manera de factorizarlas.
Veamos algunos ejemplos.
4X² - 9Y² = (2x + 3y) (2x - 3y)
25X² - 49Y² = (5x - 7y) (5x + 7y)
c² - 9Y² = (c + 3y) (c - 3y)
De la misma manera lo podemos aplicar a números por ejemplo:
9 - 4 = (3 + 2) (3 - 2)
121 - 81 = (11 + 9) (11 - 9)
64 - 16 = (8 - 4) (8 + 4)
Lo que se hizo fue buscar la raíz cuadrada de cada número y como están restados, se procedió afactorizarlos.
Incluso si los números no tuvieran raíz exacta, se puede emplear el mismo procedimiento.
Y también se aplica a números fraccionarios.
(Como el editor no permite el símbolo raíz cuadrada emplearemos R, así R2 seria raíz cuadrada de 2).
Por ejemplo:
5 - 2 = (R5 + R2) (R5 - R2)
9 - 5 = (R9 + R5) (R9 – R5)
11 - 8 = (R11 - R8) (R11 + R8)
125 - 94=( R125 + R94) (R125 - R 94)
(a+2x+1)² -( x+2a+a²)² = (a+1 )² - (x+2a+a²)² =
{( a+1 )+(x+2a + a²)} - {( a+1 )-(x+2a + a²)} Respuesta

Factorizaciòn de un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP)
Por adición o substracción.

Veamos un ejemplo
Factorizar a4+ a² +1 (Perdon ese 4 es exponente lo exprese asi por que no hay exponente 4 en mi editor)
Extraemos raíz cuadrada al primero y tercer termino de lo que quedaría
(a² +1 )² pero sidesarrollamos nos queda a4 +2a² +1 de lo que notamos que nos sobra 1 a².
Para nivelar la igualdad restamos a² a nuestra expresión .
Entonces : a4+ a² +1 = (a ² +1 )² - a² = (a ² +1+ a) - (a²+1 - a) Respuesta
De manera semejante se resuelven estos ejercicios
Factorizar 49m4- 151 m² n4+81 n8 =
Aplicamos el paso uno extraer raíz cuadrada al primero y tercer termino
( 7m² - 9 n4)² = 49 m4-126 m²n4+ 81 n8 Faltan -25m2n4
( 7m² - 9 n4)² - 25m²n4= ( 7m² - 9 n4+ 5mn² ) ( 7m² - 9 n4- 5mn² ) Respuesta
Factorizar a4- 16 a² b²+36 b4 =
( a² - 6 b²)² = a4-12 a²b² + 36 b4x²y² Faltan -4a²b²x²y²
( a² - 6 b²)² - 4a²b² = (a² - 6 b² -2ab) (a² - 6 b² +2ab) Respuesta
Factorizar x4+ 2x² y²+y4
Realizando operaciònes
( x² - y²)² = x4-2x²y² + 4 Faltan -4x²y²
( x² - y²)² - 4x²y² = (x² - y² +2xy ) (x² - y²+2xy ) Respuesta

Factorización
Factor común.
10x2y3+15x3y4-20x2y5 =5x2y3(2+3xy-4y2)
Trinomio cuadrado perfecto se factoriza como cuadrado de un binomio
a2+2ab+b2=(a+b)2
Diferencia de cuadrados, se factoriza como producto de binomios conjugados
a2- b2 =(a+b)(a-b)
Factorización de trinomio cuadrado
ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2)
Para ello usamos la fórmula.
[pic]
Diferencia de cubos
a3- b3=(a-b)(a2+ab+b2)
Suma de cubos
a3+ b3 =(a-b)(a2-ab+b2)

Funciones Polinomiales
El objetivo de este Tema  es que el alumno aprenda a trabajar los Polinomios y obtener sus Ceros Racionales, Irracionales y Complejos, así como aprender a Factorizar cualquier Polinomio expresándolo como el Producto de Factores Lineales y Cuadráticos.
Se considerará una Función Polinomial Entera de grado[pic] que tiene la forma: 
[pic]
en la cual los Coeficientes Reales  [pic]  son Constantes, en donde [pic] es el Coeficiente Principal y [pic] es el Coeficiente del término Independiente de  x.
Los términos de la Función están formados en orden descendiente de las Potencias de [pic] y sé estará analizando para [pic], ya que el Cero del Polinomio [pic]  es la Solución de la Ecuación Entera.
ExistenFormulas para encontrar las Soluciones de Ecuaciones Polinomiales de Grado igual a 3 e igual a 4 pero su solución es muy laboriosa de obtener y no es muy practica, además en tratados superiores de Álgebra también sé a demostrado que las Ecuaciones de Grado igual o mayor que 5 no tienen solución Algebraica  por este motivo se propondrá otro Método para determinarlas.
Teoremas del Residuo y del...